Xét số phức z thỏa mãn (1+2i)|z|=√10/z−2+i. Mệnh đề nào dưới đây đúng

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Giả sử  \( z=x+yi\text{ }(x,y\in \mathbb{R}) \) và  \( \left| z \right|=c\text{ }(c>0) \), thay vào đẳng thức ta có:  \( (1+2i)c=\frac{\sqrt{10}}{x+yi}-2+i  \)

\(\Leftrightarrow (1+2i)c=\frac{\sqrt{10}(x-yi)}{{{c}^{2}}}-2+i\)\(\Leftrightarrow c-\frac{x\sqrt{10}}{{{c}^{2}}}+2+i\left( 2c+\frac{y\sqrt{10}}{{{c}^{2}}}-1 \right)=0\)

 \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & \Leftrightarrow c-\frac{x\sqrt{10}}{{{c}^{2}}}+2=0 \\  & 2c+\frac{y\sqrt{10}}{{{c}^{2}}}-1=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & c+2=\frac{x\sqrt{10}}{{{c}^{2}}} \\  & -2c+1=\frac{y\sqrt{10}}{{{c}^{2}}} \\ \end{align} \right. \)

 \( \Rightarrow {{(c+2)}^{2}}+{{(2c-1)}^{2}}=\frac{10({{x}^{2}}+{{y}^{2}})}{{{c}^{4}}}=\frac{10}{{{c}^{2}}} \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & c=1\text{ }(n) \\  & c=-1\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right.\Rightarrow \left| z \right|=1\)

Do đó, ta có: \(\frac{1}{2}<\left| z \right|<\frac{3}{2}\).