Xét các số phức \( z=a+bi\text{ }(a,b\in \mathbb{R}) \) thỏa mãn \( \left| z-3-2i \right|=2 \). Tính \( a+b \) khi \( \left| z+1-2i \right|+2\left| z-2-5i \right| \) đạt giá trị nhỏ nhất.
A. \( 4-\sqrt{3} \)
B. \( 2+\sqrt{3} \)
C. 3
D. \( 4+\sqrt{3} \)
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Cách 1:
Đặt \( z-3-2i=w \) với \( w=x+yi\text{ }(x,y\in \mathbb{R}) \). Theo bài ra ta có: \( \left| w \right|=2\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4 \).
Ta có: \( P=\left| z+1-2i \right|+2\left| z-2-5i \right|=\left| w+4 \right|+2\left| w+1-3i \right|=\sqrt{{{(x+4)}^{2}}+{{y}^{2}}}+2\sqrt{{{(x+1)}^{2}}+{{(y-3)}^{2}}} \)
\( =\sqrt{20+8x}+2\sqrt{{{(x+1)}^{2}}+{{(y-3)}^{2}}}=2\sqrt{5+2x}+2\sqrt{{{(x+1)}^{2}}+{{(y-3)}^{2}}} \)
\( =\left( \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+1}+\sqrt{{{(x+1)}^{2}}+{{(y-3)}^{2}}} \right)=2\left( \sqrt{{{(x+1)}^{2}}+{{y}^{2}}}+\sqrt{{{(x+1)}^{2}}+{{(y-3)}^{2}}} \right) \)
\( \ge 2\left( \left| y \right|+\left| y-3 \right| \right)\ge 2\left| y+3-y \right|=6 \).
\( P=6\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=-1 \\ & y(3-y)\ge 0 \\ & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=-1 \\ & y=\sqrt{3} \\ \end{align} \right. \).
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 6 đạt được khi \( z=2+\left( 2+\sqrt{3} \right)I \).
Cách 2:
\( \left| z-3-2i \right|=2\Rightarrow MI=2\Rightarrow M \) thuộc đường tròn tâm I(3;2) và bán kính bằng 2.
\( P=\left| z+1-2i \right|+2\left| z-2-5i \right|=MA+2MB \) với A(1;2), B(2;5).
Ta có: \( IM=2,\text{ }IA=4 \). Chọn K(2;2) thì \( IK=1 \). Do đó ta có: \( IA.IK=I{{M}^{2}}\Rightarrow \frac{IA}{IM}=\frac{IM}{IK} \).
\( \Rightarrow \Delta IAM\backsim \Delta IMK\Rightarrow \frac{AM}{MK}=\frac{IM}{IK}=2\Rightarrow AM=2MK \).
Từ đó \( P=MA+2MB=2(MK+MB)\ge 2BK \).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M, K, B thẳng hàng và M thuộc đoạn thẳng BK.
Từ đó tìm được \( M\left( 2;2+\sqrt{3} \right) \).
Cách 3:
Gọi M(a;b) là điểm biểu diễn số phức \( z=a+bi \). Đặt I(3;2), A(-1;2) và B(2;5).
Ta xét bài toán: Tìm điểm M thuộc đường tròn (C) có tâm I, bán kính R = 2 sao cho biểu thức \( P=MA+2MB \) đạt giá trị nhỏ nhất.
Trước tiên, ta tìm điểm K(x;y) sao cho \( MA=2MK,\forall M\in (C) \).
Ta có: \( MA=2MK\Leftrightarrow M{{A}^{2}}=4M{{K}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}=4{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IK} \right)}^{2}} \)
\( \Leftrightarrow M{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}+2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IA}=4\left( M{{I}^{2}}+I{{K}^{2}}+2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IK} \right)\Leftrightarrow 2\overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA}-4\overrightarrow{IK} \right)=3{{R}^{2}}+4I{{K}^{2}}-I{{A}^{2}} \) (*)
(*) luôn đúng \( \forall M\in (C)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& \overrightarrow{IA}-4\overrightarrow{IK}=\vec{0} \\& 3{{R}^{2}}+4I{{K}^{2}}-I{{A}^{2}}=0 \\\end{align} \right. \).
\( \overrightarrow{IA}-4\overrightarrow{IK}=\vec{0}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 4(x-3)=-4 \\ & 4(y-2)=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=2 \\ & y=2 \\ \end{align} \right. \).
Thử trực tiếp ta thấy K(2;2) thỏa mãn \( 3{{R}^{2}}+4I{{K}^{2}}-I{{A}^{2}}=0 \).
Vì \( B{{I}^{2}}={{1}^{2}}+{{3}^{2}}=10>{{R}^{2}}=4 \) nên B nằm ngoài (C).
Vì \( K{{I}^{2}}=1<{{R}^{2}}=4 \) nên K nằm trong (C).
Ta có: \( MA+2MB=2MK+2MB=2(MK+MB)\ge 2KB \).
Dấu “=” trong bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi M thuộc đoạn thẳng BK.
Do đó \( {{\left( MA+2MB \right)}_{\min }}\Leftrightarrow M=(C)\cap BK \).
Phương trình đường thẳng \( BK:x=2 \).
Phương trình đường tròn \( (C):{{(x-3)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=4 \).
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ: \( \left\{ \begin{align} & x=2 \\ & {{(x-3)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=4 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=2 \\ & y=2+\sqrt{3} \\ \end{align} \right. \) \( \vee \left\{ \begin{align} & x=2 \\ & y=2-\sqrt{3} \\ \end{align} \right. \).
Thử lại thấy \( M\left( 2;2+\sqrt{3} \right)\in BK \).
Vậy \( a=2,\text{ }b=2+\sqrt{3}\Rightarrow a+b=4+\sqrt{3} \).
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!