Xét các số phức z=a+bi (a,b∈R) thỏa mãn |z−3−2i|=2. Tính a+b khi |z+1−2i|+2|z−2−5i| đạt giá trị nhỏ nhất

Xét các số phức \( z=a+bi\text{ }(a,b\in \mathbb{R}) \) thỏa mãn  \( \left| z-3-2i \right|=2 \). Tính  \( a+b \) khi  \( \left| z+1-2i \right|+2\left| z-2-5i \right| \) đạt giá trị nhỏ nhất.

A. \( 4-\sqrt{3} \)

B.  \( 2+\sqrt{3} \)           

C. 3                                   

D.  \( 4+\sqrt{3} \)

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Cách 1:

Đặt  \( z-3-2i=w \) với  \( w=x+yi\text{ }(x,y\in \mathbb{R}) \). Theo bài ra ta có:  \( \left| w \right|=2\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4 \).

Ta có:  \( P=\left| z+1-2i \right|+2\left| z-2-5i \right|=\left| w+4 \right|+2\left| w+1-3i \right|=\sqrt{{{(x+4)}^{2}}+{{y}^{2}}}+2\sqrt{{{(x+1)}^{2}}+{{(y-3)}^{2}}} \)

\( =\sqrt{20+8x}+2\sqrt{{{(x+1)}^{2}}+{{(y-3)}^{2}}}=2\sqrt{5+2x}+2\sqrt{{{(x+1)}^{2}}+{{(y-3)}^{2}}} \)

\( =\left( \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+1}+\sqrt{{{(x+1)}^{2}}+{{(y-3)}^{2}}} \right)=2\left( \sqrt{{{(x+1)}^{2}}+{{y}^{2}}}+\sqrt{{{(x+1)}^{2}}+{{(y-3)}^{2}}} \right) \)

\( \ge 2\left( \left| y \right|+\left| y-3 \right| \right)\ge 2\left| y+3-y \right|=6 \).

\( P=6\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x=-1 \\  & y(3-y)\ge 0 \\  & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x=-1 \\  & y=\sqrt{3} \\ \end{align} \right. \).

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 6 đạt được khi  \( z=2+\left( 2+\sqrt{3} \right)I \).

Cách 2:

\( \left| z-3-2i \right|=2\Rightarrow MI=2\Rightarrow M \) thuộc đường tròn tâm I(3;2) và bán kính bằng 2.

\( P=\left| z+1-2i \right|+2\left| z-2-5i \right|=MA+2MB \) với A(1;2), B(2;5).

Ta có:  \( IM=2,\text{ }IA=4 \). Chọn K(2;2) thì  \( IK=1 \). Do đó ta có:  \( IA.IK=I{{M}^{2}}\Rightarrow \frac{IA}{IM}=\frac{IM}{IK} \).

\( \Rightarrow \Delta IAM\backsim \Delta IMK\Rightarrow \frac{AM}{MK}=\frac{IM}{IK}=2\Rightarrow AM=2MK \).

Từ đó  \( P=MA+2MB=2(MK+MB)\ge 2BK \).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M, K, B thẳng hàng và M thuộc đoạn thẳng BK.

Từ đó tìm được  \( M\left( 2;2+\sqrt{3} \right) \).

Cách 3:

Gọi M(a;b) là điểm biểu diễn số phức  \( z=a+bi \). Đặt I(3;2), A(-1;2) và B(2;5).

Ta xét bài toán: Tìm điểm M thuộc đường tròn (C) có tâm I, bán kính R = 2 sao cho biểu thức  \( P=MA+2MB \) đạt giá trị nhỏ nhất.

Trước tiên, ta tìm điểm K(x;y) sao cho  \( MA=2MK,\forall M\in (C) \).

Ta có:  \( MA=2MK\Leftrightarrow M{{A}^{2}}=4M{{K}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}=4{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IK} \right)}^{2}} \)

\( \Leftrightarrow M{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}+2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IA}=4\left( M{{I}^{2}}+I{{K}^{2}}+2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IK} \right)\Leftrightarrow 2\overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA}-4\overrightarrow{IK} \right)=3{{R}^{2}}+4I{{K}^{2}}-I{{A}^{2}} \)  (*)

(*) luôn đúng \( \forall M\in (C)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& \overrightarrow{IA}-4\overrightarrow{IK}=\vec{0} \\& 3{{R}^{2}}+4I{{K}^{2}}-I{{A}^{2}}=0 \\\end{align} \right. \).

\( \overrightarrow{IA}-4\overrightarrow{IK}=\vec{0}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 4(x-3)=-4 \\  & 4(y-2)=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x=2 \\  & y=2 \\ \end{align} \right. \).

Thử trực tiếp ta thấy K(2;2) thỏa mãn  \( 3{{R}^{2}}+4I{{K}^{2}}-I{{A}^{2}}=0 \).

Vì  \( B{{I}^{2}}={{1}^{2}}+{{3}^{2}}=10>{{R}^{2}}=4 \) nên B nằm ngoài (C).

Vì  \( K{{I}^{2}}=1<{{R}^{2}}=4 \) nên K nằm trong (C).

Ta có:  \( MA+2MB=2MK+2MB=2(MK+MB)\ge 2KB \).

Dấu “=” trong bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi M thuộc đoạn thẳng BK.

Do đó  \( {{\left( MA+2MB \right)}_{\min }}\Leftrightarrow M=(C)\cap BK \).

Phương trình đường thẳng  \( BK:x=2 \).

Phương trình đường tròn  \( (C):{{(x-3)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=4 \).

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:  \( \left\{ \begin{align} & x=2 \\  & {{(x-3)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=4 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=2 \\  & y=2+\sqrt{3} \\ \end{align} \right. \) \( \vee \left\{ \begin{align}  & x=2 \\  & y=2-\sqrt{3} \\ \end{align} \right. \).

Thử lại thấy  \( M\left( 2;2+\sqrt{3} \right)\in BK \).

Vậy  \( a=2,\text{ }b=2+\sqrt{3}\Rightarrow a+b=4+\sqrt{3} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *