Xét bất phương trình log^22(2x)−2(m+1)log2x−2<0. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng (√2;+∞)

Xét bất phương trình \( \log _{2}^{2}(2x)-2(m+1){{\log }_{2}}x-2<0 \). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng  \( \left( \sqrt{2};+\infty  \right) \).

A. \( m\in \left( -\frac{3}{4};0 \right) \)

B.  \( m\in \left( 0;+\infty  \right) \)             

C.  \( m\in \left( -\infty ;0 \right) \)               

D.  \( m\in \left( -\frac{3}{4};+\infty  \right) \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Bất phương trình  \( \log _{2}^{2}(2x)-2(m+1){{\log }_{2}}x-2<0 \) \( \Leftrightarrow \log _{2}^{2}x-2m{{\log }_{2}}x-1<0 \) (1).

Đặt  \( t={{\log }_{2}}x  \), vì  \( x\in \left( \sqrt{2};+\infty  \right)\Rightarrow t\in \left( \frac{1}{2};+\infty  \right) \).

Bất phương trình trở thành  \( {{t}^{2}}-2mt-1<0\Leftrightarrow 2mt>{{t}^{2}}-1 \)

 \( \Leftrightarrow 2m>\frac{{{t}^{2}}-1}{t} \) (2).

Đặt  \( f(t)=\frac{{{t}^{2}}-1}{t} \) với  \( t\in \left( \frac{1}{2};+\infty  \right) \).

Bất phương trình (1) có nghiệm thuộc khoảng  \( \left( \sqrt{2};+\infty  \right) \) khi và chỉ khi bất phương trình (2) có nghiệm thuộc khoảng  \( \left( \frac{1}{2};+\infty  \right) \).

Ta có:  \( {f}'(t)=1+\frac{1}{{{t}^{2}}}>0,\forall t\in \left( \frac{1}{2};+\infty  \right) \)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra bất phương trình đã cho có nghiệm thuộc khoảng  \( \left( \sqrt{2};+\infty  \right) \) khi và chỉ khi  \( 2m>-\frac{3}{2}\Leftrightarrow m>-\frac{3}{4} \)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *