Với giá trị nào của tham số m để phương trình 4^x−m.2^x+1+2m+3=0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1+x2=4

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Phương trình đã cho tương đương:  \( {{2}^{2x}}-2m{{.2}^{x}}+2m+3=0 \) (1).

Đặt  \( t={{2}^{x}}\left( t>0 \right) \), khi đó phương trình (1) trở thành:  \( {{t}^{2}}-2m.t+2m+3=0 \) (2)

Để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2  \( \Leftrightarrow  \)phương trình (2) có hai nghiệm t1, t2 dương.

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {\Delta }’\ge 0 \\ & S>0 \\ & P>0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{m}^{2}}-2m-3\ge 0 \\ & 2m>0 \\ & 2m+3>0 \\ \end{align} \right. \)  \( \Leftrightarrow m\ge 3 \)

Theo định lý Viet, ta có: \( \left\{ \begin{align} & {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=2m \\ & {{t}_{1}}.{{t}_{2}}=2m+3 \\ \end{align} \right. \)

Với  \( t={{2}^{x}} \), ta có: \( \left\{ \begin{align}& {{t}_{1}}={{2}^{{{x}_{1}}}} \\ & {{t}_{2}}={{2}^{{{x}_{2}}}} \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{t}_{1}}.{{t}_{2}}={{2}^{{{x}_{1}}}}{{.2}^{{{x}_{2}}}} \)

 \( \Leftrightarrow 2m+3={{2}^{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}}\Leftrightarrow 16=2m+3 \)  \( \Leftrightarrow m=\frac{13}{2} \) (thỏa mãn)