Với giá trị nào của tham số m để đồ thị hàm số y=x^3−3x^2+m có hai điểm cực trị A, B thỏa mãn OA=OB (O là gốc tọa độ)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Tập xác định:  \( D=\mathbb{R} \).

 \( {y}’=3{{x}^{2}}-6x  \),  \( {y}’=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6x=0 \)  \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0 \\  & x=2 \\ \end{align} \right. \)

Do đó, đồ thị hàm số đã cho luôn có hai điểm cực trị lần lượt có tọa độ là A(0;m) và  \( B\left( 2;-4+m \right) \).

Ta có:  \( OA=OB\Leftrightarrow \sqrt{{{0}^{2}}+{{m}^{2}}}=\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( 4-m \right)}^{2}}} \)

 \( \Leftrightarrow {{m}^{2}}=4+{{\left( 4-m \right)}^{2}}\Leftrightarrow 20-8m=0\Leftrightarrow m=\frac{5}{2} \)