Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt cầu (S) đi qua điểm O và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C khác O thỏa mãn tam giác ABC có trọng tâm là điểm G(−6;−12;18). Tọa độ tâm của mặt cầu (S) là

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Gọi tọa độ các điểm trên ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt là A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với a, b, c > 0.

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên  \( \left\{ \begin{align}  & \frac{a}{3}=-6 \\  & \frac{b}{3}=-12 \\  & \frac{c}{3}=18 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a=-18 \\  & b=-36 \\  & c=54 \\ \end{align} \right. \).

Gọi phương trình mặt cầu (S) cần tìm là:  \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2mx-2ny-2pz+q=0 \). Vì (S) qua các điểm O, A, B, C nên ta có hệ:

 \( \left\{ \begin{align}  & q=0 \\ & 36m+q=-{{18}^{2}} \\  & 72n+q=-{{36}^{2}} \\  & -108p+q=-{{54}^{2}} \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m=-9 \\  & n=-18 \\  & p=27 \\  & q=0 \\ \end{align} \right. \)

Vậy tọa độ tâm mặt cầu (S) là:  \( (-9;-18;27) \).