Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi I(a;b;c) là tâm mặt cầu đi qua điểm A(1;−1;4) và tiếp xúc với tất cả các mặt phẳng tọa độ. Tính P=a−b+c

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Vì mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng tọa độ  \( {{d}_{\left( I,(Oyz) \right)}}={{d}_{\left( I,(Oxz) \right)}}={{d}_{\left( I,(Oxy) \right)}} \)

\(\Leftrightarrow \left| a \right|=\left| b \right|=\left| c \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & a=b=c \\  & a=b=-c \\  & a=-b=c \\  & a=-b=-c \\ \end{align} \right.\)

Nhận thấy chỉ có trường hợp  \( a=-b=c  \) thì phương trình  \( AI={{d}_{\left( I,(Oxy) \right)}} \) có nghiệm, các trường hợp còn lại vô nghiệm.

Thật vậy:

+  \( a=-b=c  \) thì  \( I(a;-a;a) \)

 \( AI={{d}_{\left( I,(Oxy) \right)}}\Leftrightarrow {{(a-1)}^{2}}+{{(a-1)}^{2}}+{{(a-4)}^{2}}={{a}^{2}} \)

 \( \Leftrightarrow {{a}^{2}}-6a+9=0\Leftrightarrow a=3 \)

Khi đó:  \( P=a-b+c=9 \).