Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):x2+y2+z2−2x−4y+6z−13=0 và đường thẳng d:x+11=y+21=z−11. Điểm M(a;b;c), (a>0) nằm trên đường thẳng d sao cho từ M kẻ được ba tiếp tuyến MA, MB, MC đến mặt cầu (S) (A, B, C là các tiếp điểm) và AMBˆ=60O, BMCˆ=60O và CMAˆ=120O

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \( (S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-4y+6z-13=0 \) và đường thẳng  \( d:\frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-1}{1} \). Điểm  \( M(a;b;c),\text{ }(a>0) \) nằm trên đường thẳng d sao cho từ M kẻ được ba tiếp tuyến MA, MB, MC đến mặt cầu (S) (A, B, C là các tiếp điểm) và  \( \widehat{AMB}={{60}^{O}},\text{ }\widehat{BMC}={{60}^{O}} \) và  \( \widehat{CMA}={{120}^{O}} \). Tính  \( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}} \).

A. \( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=\frac{173}{9} \)

B. \( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=\frac{112}{9} \)                                    

C. \( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=-8 \)             

D. \( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=\frac{23}{9} \)

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;-3) và bán kính \(R=\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{(-3)}^{2}}+13}=3\sqrt{3}\).

Gọi (C) là đường tròn giao tuyến của mặt phẳng (ABC) và mặt cầu (S).

Đặt  \( MA=MB=MC=x  \) khi đó  \( AB=x,\text{ }BC=x\sqrt{2},\text{ }CA=x\sqrt{3} \) do đó tam giác ABC vuông tại B nên trung điểm H của AC là tâm đường tròn (C) và H, I, M thẳng hàng.

Vì  \( \widehat{AMC}={{120}^{O}} \) nên tam giác AIC đều do đó  \( x\sqrt{3}=R\Leftrightarrow x=3 \) suy ra  \( IM=2AM=2x=6 \).

Lại có  \( M\in d  \) nên  \( M(-1+t;-2+t;1+t),\text{ }(t>1) \) mà  \( IM=6 \) nên  \( {{(t-2)}^{2}}+{{(t-4)}^{2}}+{{(t+4)}^{2}}=36 \)

 \( \Leftrightarrow 3{{t}^{2}}-4t=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=0 \\  & t=\frac{4}{3} \\ \end{align} \right. \).

Mà  \( a>0 \) nên  \( t=\frac{4}{3}\Rightarrow H\left( \frac{1}{3};-\frac{2}{3};\frac{7}{3} \right)\Rightarrow {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=\frac{112}{9} \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Fanpage Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Nhân Tài Việt

Fanpage Trung Tâm Gia Sư Dạy Kèm Nhân Tài Việt

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *