Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x−cosα)^2+(y−cosβ)^2+(z−cosγ)^2=4 với α,β và γ lần lượt là ba góc tạo bởi tia Ot bất kì với 3 tia Ox, Oy và Oz. Biết rằng mặt cầu (S) luôn tiếp xúc với hai mặt cầu cố định. Tổng diện tích của hai mặt cầu cố định đó bằng

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Ta dễ dàng chứng minh được:  \( {{\cos }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\beta +{{\cos }^{2}}\gamma =1 \)

Mặt cầu (S) có tâm  \( I(\cos \alpha ;\cos \beta ;\cos \gamma ) \).

Suy ra tâm I thuộc mặt cầu (S’) có tâm O(0;0;0),  \( R=\sqrt{{{\cos }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\beta +{{\cos }^{2}}\gamma )}=1 \)

Mặt cầu (S) luôn tiếp xúc với hai mặt cầu (S₁), (S₂).

Mặt cầu (S₁) có tâm là O, bán kính \({{R}_{1}}=\left| OI-R \right|=\left| 1-2 \right|=1\).

Mặt cầu (S₂) có tâm là O, bán kính  \( {{R}_{2}}=OI+R=1+2=3 \).

Vậy tổng diện tích hai mặt cầu bằng  \( 4\pi (R_{1}^{2}+R_{2}^{2})=4\pi ({{1}^{2}}+{{3}^{2}})=40\pi \) .