Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): \( {{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=25 \) và hình nón (H) có đỉnh \( A(3;2;-2) \) và nhận AI làm trục đối xứng với I là tâm mặt cầu. Một đường sinh của hình nón (H) cắt mặt cầu tại M, N sao cho AM = 3AN. Viết phương trình mặt cầu đồng tâm với mặt cầu (S) và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón (H).
A. \( {{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=\frac{71}{3} \)
B. \( {{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=\frac{70}{3} \)
C. \( {{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=\frac{74}{3} \)
D. \( {{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=\frac{76}{3} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án A.
Gọi hình chiếu vuông góc của MN là K.
Dễ thấy \( AN=NK=\frac{1}{3}AM \), mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và bán kính R = 5.
Có \( AM.AN=A{{I}^{2}}-{{R}^{2}}=4 \)
\( \Rightarrow A{{N}^{2}}=\frac{4}{3}\Rightarrow KN=AN=\frac{2\sqrt{3}}{3} \)\(\Rightarrow IK=\sqrt{I{{N}^{2}}-K{{N}^{2}}}=\frac{\sqrt{213}}{3}\).
Nhận thấy mặt cầu đồng tâm với mặt cầu (S) và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón (H) chính là mặt cầu tâm I(1;2;3) có bán kính \( IK=\frac{\sqrt{213}}{3} \).
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: \( {{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=\frac{71}{3} \)
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!