Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x−1)^2+(y−2)^2+(z−3)^2=25 và hình nón (H) có đỉnh A(3;2;−2) và nhận AI làm trục đối xứng với I là tâm mặt cầu. Một đường sinh của hình nón (H) cắt mặt cầu tại M, N sao cho AM = 3AN. Viết phương trình mặt cầu đồng tâm với mặt cầu (S) và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón (H)

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): \( {{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=25 \) và hình nón (H) có đỉnh  \( A(3;2;-2) \) và nhận AI làm trục đối xứng với I là tâm mặt cầu. Một đường sinh của hình nón (H) cắt mặt cầu tại M, N sao cho AM = 3AN. Viết phương trình mặt cầu đồng tâm với mặt cầu (S) và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón (H).

A. \( {{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=\frac{71}{3} \)

B.  \( {{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=\frac{70}{3} \)

C. \( {{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=\frac{74}{3} \)

D.  \( {{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=\frac{76}{3} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Gọi hình chiếu vuông góc của MN là K.

Dễ thấy  \( AN=NK=\frac{1}{3}AM  \), mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và bán kính R = 5.

Có  \( AM.AN=A{{I}^{2}}-{{R}^{2}}=4 \)

 \( \Rightarrow A{{N}^{2}}=\frac{4}{3}\Rightarrow KN=AN=\frac{2\sqrt{3}}{3} \)\(\Rightarrow IK=\sqrt{I{{N}^{2}}-K{{N}^{2}}}=\frac{\sqrt{213}}{3}\).

Nhận thấy mặt cầu đồng tâm với mặt cầu (S) và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón (H) chính là mặt cầu tâm I(1;2;3) có bán kính  \( IK=\frac{\sqrt{213}}{3} \).

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:  \( {{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=\frac{71}{3} \)

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *