Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(4;6;2), B(2;-2;0) và mặt phẳng (P):x+y+z=0. Xét đường thẳng d thay đổi được (P) và đi qua B, gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d. Biết rằng khi d thay đổi thì H thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính R của đường tròn đó

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Gọi I là trung điểm của AB  \( \Rightarrow I(3;2;1) \).

 \( d\left( I,(P) \right)=\frac{\left| 3+2+1 \right|}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3} \).

Gọi (S) là mặt cầu có tâm I(3;2;1) và bán kính  \( {R}’=\frac{AB}{2}=3\sqrt{2} \).

Ta có  \( H\in (S) \). Mặt khác,  \( H\in (P) \) nên  \( H\in (C)=(S)\cap (P) \).

Bán kính của đường tròn (C) là  \( R=\sqrt{{{({R}’)}^{2}}-{{d}^{2}}\left( I,(P) \right)}=\sqrt{{{\left( 3\sqrt{2} \right)}^{2}}-{{\left( 2\sqrt{3} \right)}^{2}}}=\sqrt{6} \).