Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0;1;2), B(2;-2;0), C(-2;0;1). Mặt phẳng (P) đi qua A, trực tâm H của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC) có phương trình là

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Ta có:  \( \overrightarrow{AB}=(2;-3;-2) \),  \( \overrightarrow{AC}=(-2;-1;-1) \) nên  \( \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=(1;6;-8) \).

Phương trình mặt phẳng (ABC) là:  \( x+6y-8z+10=0 \).

Phương trình mặt phẳng qua B và vuông góc với AC là:  \( 2x+y+z-2=0 \).

Phương trình mặt phẳng qua C và vuông góc với AB là:  \( 2x-3y-2z+6=0 \).

Giao điểm của ba mặt phẳng trên là trực tâm H của tam giác ABC nên  \( H\left( -\frac{22}{101};\frac{70}{101};\frac{176}{101} \right) \).

Mặt phẳng (P) đi qua A, H nên \({{\vec{n}}_{P}}\bot \overrightarrow{AH}=\left( -\frac{22}{101};-\frac{31}{101};-\frac{26}{101} \right)=-\frac{1}{101}(22;31;26)\).

Mặt phẳng  \( (P)\bot (ABC) \) nên  \( {{\vec{n}}_{P}}\bot {{\vec{n}}_{(ABC)}}=(1;6;-8) \).

Vậy  \( {{\vec{n}}_{P}}=\left[ {{{\vec{n}}}_{(ABC)}};{{{\vec{u}}}_{AH}} \right]=(404;-202;-101)=101(4;-2;-1) \)

Do đó, phương trình mặt phẳng (P) là:  \( 4x-2y-z+4=0 \).