Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;2;−4), B(1;−3;1), C(2;2;3). Tính đường kính ℓ của mặt cầu (S) đi qua ba điểm trên và có tâm nằm trên mặt phẳng (Oxy)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Gọi tâm mặt cầu là I(x; y; 0).

\(\left\{ \begin{align}  & IA=IB \\  & IA=IC \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \sqrt{{{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{4}^{2}}}=\sqrt{{{(x-1)}^{2}}+{{(y+3)}^{2}}+{{1}^{2}}} \\  & \sqrt{{{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{4}^{2}}}=\sqrt{{{(x-2)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{3}^{2}}} \\ \end{align} \right.\)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{(y-2)}^{2}}+{{4}^{2}}={{(y+3)}^{2}}+{{1}^{2}} \\  & {{x}^{2}}-2x+1+16={{x}^{2}}-4x+4+9 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & 10y=10 \\  & 2x=-4 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=-2 \\  & y=1 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Rightarrow \ell =2R=2\sqrt{{{(-3)}^{2}}+{{(-1)}^{2}}+{{4}^{2}}}=2\sqrt{26} \)