Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1:(x−3)/−1=(y−3)/−2=(z+2)/1; d2:(x−5)/−3=(y+1)/2=(z−2)/1 và mặt phẳng (P): x+2y+3z−5=0. Đường thẳng vuông góc với (P), cắt d1 và d2 có phương trình là

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Phương trình  \( {{d}_{1}}:\left\{ \begin{align} & x=3-{{t}_{1}} \\  & y=3-2{{t}_{1}} \\  & z=-2+{{t}_{1}} \\ \end{align} \right. \) và  \( {{d}_{2}}:\left\{ \begin{align}  & x=5-3{{t}_{2}} \\  & y=-1+2{{t}_{2}} \\  & z=2+{{t}_{2}} \\ \end{align} \right. \).

Gọi đường thẳng cần tìm là  \( \Delta  \).

Giả sử đường thẳng  \( \Delta  \)cắt đường thẳng d₁ và d₂ lần lượt tại A, B.

Gọi  \( A(3-{{t}_{1}};3-2{{t}_{1}};-2+{{t}_{1}}) \),  \( B(5-3{{t}_{2}};-1+2{{t}_{2}};2+{{t}_{2}}) \).

 \( \overrightarrow{AB}=(2-3{{t}_{2}}+{{t}_{1}};-4+2{{t}_{2}}+2{{t}_{1}};4+{{t}_{2}}-{{t}_{1}}) \).

Vectơ pháp tuyến của (P) là  \( \vec{n}=(1;2;3) \).

Do  \( \overrightarrow{AB} \) và  \( \vec{n} \) cùng phương nên  \( \frac{2-3{{t}_{2}}+{{t}_{1}}}{1}=\frac{-4+2{{t}_{2}}+2{{t}_{1}}}{2}=\frac{4+{{t}_{2}}-{{t}_{1}}}{3} \).

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \frac{2-3{{t}_{2}}+{{t}_{1}}}{1}=\frac{-4+2{{t}_{2}}+2{{t}_{1}}}{2} \\  & \frac{-4+2{{t}_{2}}+2{{t}_{1}}}{2}=\frac{4+{{t}_{2}}-{{t}_{1}}}{3} \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{t}_{1}}=2 \\  & {{t}_{2}}=1 \\ \end{align} \right. \)

Do đó, A(1;-1;0), B(2;-1;3).

Phương trình đường thẳng  \( \Delta  \) đi qua A(1;-1;0) và có vectơ chỉ phương  \( \vec{n}=(1;2;3) \) là:  \( \frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{3} \).