Trong các số phức z thỏa mãn |z−3−4i|=2 có hai số phức z1,z2 thỏa mãn |z1−z2|=1. Giá trị nhỏ nhất của |z1|^2−|z2|^2 bằng

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Đặt  \( {{z}_{1}}={{x}_{1}}+{{y}_{1}}i,\text{ }({{x}_{1}},{{y}_{1}}\in \mathbb{R}) \) và  \( {{z}_{2}}={{x}_{2}}+{{y}_{2}}i,\text{ }({{x}_{2}},{{y}_{2}}\in \mathbb{R}) \).

Khi đó:  \( \left\{ \begin{align}  & {{({{x}_{1}}-3)}^{2}}+{{({{y}_{1}}-4)}^{2}}=4 \\  & {{({{x}_{2}}-3)}^{2}}+{{({{y}_{2}}-4)}^{2}}=4 \\ \end{align} \right. \) và  \( {{({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}^{2}}+{{({{y}_{1}}-{{y}_{2}})}^{2}}=1 \).

Ta có:  \( {{({{x}_{1}}-3)}^{2}}+{{({{y}_{1}}-4)}^{2}}={{({{x}_{2}}-3)}^{2}}+{{({{y}_{2}}-4)}^{2}}\Leftrightarrow x_{1}^{2}+y_{1}^{2}-\left( x_{2}^{2}+y_{2}^{2} \right)=6({{x}_{1}}-{{x}_{2}})+8({{y}_{1}}-{{y}_{2}}) \).

Suy ra:  \( \left| {{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}-{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}} \right|=2\left| 3({{x}_{1}}-{{x}_{2}})+4({{y}_{1}}-{{y}_{2}}) \right|\le 2\sqrt{\left( {{3}^{2}}+{{4}^{2}} \right)\left[ {{({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}^{2}}+{{({{y}_{1}}-{{y}_{2}})}^{2}} \right]}=10 \).

Do đó \(-10\le {{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}-{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}\le 10\).