Trong các số phức z thỏa mãn |z−3−4i|=2 có hai số phức z1,z2 thỏa mãn |z1−z2|=1. Giá trị nhỏ nhất của |z1|^2−|z2|^2 bằng

Trong các số phức z thỏa mãn \( \left| z-3-4i \right|=2 \) có hai số phức  \( {{z}_{1}},{{z}_{2}} \) thỏa mãn  \( \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=1 \). Giá trị nhỏ nhất của  \( {{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}-{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}} \) bằng

A. -10

B.  \( -4-3\sqrt{5} \)         

C. -5                                 

D.  \( -6-2\sqrt{5} \)

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Đặt  \( {{z}_{1}}={{x}_{1}}+{{y}_{1}}i,\text{ }({{x}_{1}},{{y}_{1}}\in \mathbb{R}) \) và  \( {{z}_{2}}={{x}_{2}}+{{y}_{2}}i,\text{ }({{x}_{2}},{{y}_{2}}\in \mathbb{R}) \).

Khi đó:  \( \left\{ \begin{align}  & {{({{x}_{1}}-3)}^{2}}+{{({{y}_{1}}-4)}^{2}}=4 \\  & {{({{x}_{2}}-3)}^{2}}+{{({{y}_{2}}-4)}^{2}}=4 \\ \end{align} \right. \) và  \( {{({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}^{2}}+{{({{y}_{1}}-{{y}_{2}})}^{2}}=1 \).

Ta có:  \( {{({{x}_{1}}-3)}^{2}}+{{({{y}_{1}}-4)}^{2}}={{({{x}_{2}}-3)}^{2}}+{{({{y}_{2}}-4)}^{2}}\Leftrightarrow x_{1}^{2}+y_{1}^{2}-\left( x_{2}^{2}+y_{2}^{2} \right)=6({{x}_{1}}-{{x}_{2}})+8({{y}_{1}}-{{y}_{2}}) \).

Suy ra:  \( \left| {{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}-{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}} \right|=2\left| 3({{x}_{1}}-{{x}_{2}})+4({{y}_{1}}-{{y}_{2}}) \right|\le 2\sqrt{\left( {{3}^{2}}+{{4}^{2}} \right)\left[ {{({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}^{2}}+{{({{y}_{1}}-{{y}_{2}})}^{2}} \right]}=10 \).

Do đó \(-10\le {{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}-{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}\le 10\).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *