Trong các số phức z thỏa mãn |z−1+i|=|z¯+1−2i|, số phức z có môđun nhỏ nhất có phần ảo là

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Gọi  \( z=x+yi  \)  \( (x,y\in \mathbb{R}) \) được biểu diễn bởi điểm M(x;y).

 \( \left| z-1+i \right|=\left| \bar{z}+1-2i \right|\Leftrightarrow \left| (x-1)+(y+1)i \right|=\left| (x+1)-(y+2)i \right| \)

 \( \Leftrightarrow \sqrt{{{(x-1)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}}=\sqrt{{{(x+1)}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}} \)

 \( \Leftrightarrow 4x+2y+3=0\Leftrightarrow y=-2x-\frac{3}{2} \)

Cách 1:

 \( \left| z \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( -2x-\frac{3}{2} \right)}^{2}}} \) \( =\sqrt{5{{x}^{2}}+6x+\frac{9}{4}}=\sqrt{5{{\left( x+\frac{3}{5} \right)}^{2}}+\frac{9}{20}}\ge \frac{3\sqrt{5}}{10},\text{ }\forall x \)

Suy ra:  \( \min \left| z \right|=\frac{3\sqrt{5}}{10} \) khi  \( \left\{ \begin{align}  & x=-\frac{3}{5} \\  & y=-\frac{3}{10} \\ \end{align} \right. \).

Vậy phần ảo của số phức z có môđun nhỏ nhất là  \( -\frac{3}{10} \).

Cách 2:

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng  \( d:4x+2y+3=0 \).

Ta có:  \( \left| z \right|=OM  \)

 \( {{\left| z \right|}_{\min }}\Leftrightarrow O{{M}_{\min }} \) \( \Leftrightarrow \)  M là hình chiếu của O trên d.

Phương trình đường thẳng OM đi qua O và vuông góc với d là:  \( x-2y=0 \).

Tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:  \( \left\{ \begin{align} & 4x+2y+3=0 \\  & x-2y=0 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=-\frac{3}{5} \\  & y=-\frac{3}{10} \\ \end{align} \right.\Rightarrow M\left( -\frac{3}{5};-\frac{3}{10} \right) \)

Hay  \( z=-\frac{3}{5}-\frac{3}{10}i  \).

Vậy, phần ảo của số phức z có môđun nhỏ nhất là  \( -\frac{3}{10} \).

Nhận xét: Ta có thể tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z như sau:

 \( \left| z-1+i \right|=\left| \bar{z}+1-2i \right|\Leftrightarrow \left| z-(1-i) \right|=\left| z-(-1-2i) \right| \)      (*)

Gọi M biểu diễn số phức z, điểm A(1;-1) biểu diễn số phức  \( 1-i  \), điểm B(-1;-2) biểu diễn số phức  \( -1-2i  \).

Khi đó  \( (*)\Leftrightarrow MA=MB  \).

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình  \( d:4x+2y+3=0 \).