Trong các số phức z thỏa mãn |z−1+i|=|z¯+1−2i|, số phức z có môđun nhỏ nhất có phần ảo là

Trong các số phức z thỏa mãn \(\left| z-1+i \right|=\left| \bar{z}+1-2i \right|\), số phức z có môđun nhỏ nhất có phần ảo là:

A. \( \frac{3}{10} \)

B.  \( \frac{3}{5} \)                    

C.  \( -\frac{3}{5} \)         

D.  \( -\frac{3}{10} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Gọi  \( z=x+yi  \)  \( (x,y\in \mathbb{R}) \) được biểu diễn bởi điểm M(x;y).

 \( \left| z-1+i \right|=\left| \bar{z}+1-2i \right|\Leftrightarrow \left| (x-1)+(y+1)i \right|=\left| (x+1)-(y+2)i \right| \)

 \( \Leftrightarrow \sqrt{{{(x-1)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}}=\sqrt{{{(x+1)}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}} \)

 \( \Leftrightarrow 4x+2y+3=0\Leftrightarrow y=-2x-\frac{3}{2} \)

Cách 1:

 \( \left| z \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( -2x-\frac{3}{2} \right)}^{2}}} \) \( =\sqrt{5{{x}^{2}}+6x+\frac{9}{4}}=\sqrt{5{{\left( x+\frac{3}{5} \right)}^{2}}+\frac{9}{20}}\ge \frac{3\sqrt{5}}{10},\text{ }\forall x \)

Suy ra:  \( \min \left| z \right|=\frac{3\sqrt{5}}{10} \) khi  \( \left\{ \begin{align}  & x=-\frac{3}{5} \\  & y=-\frac{3}{10} \\ \end{align} \right. \).

Vậy phần ảo của số phức z có môđun nhỏ nhất là  \( -\frac{3}{10} \).

Cách 2:

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng  \( d:4x+2y+3=0 \).

Ta có:  \( \left| z \right|=OM  \)

 \( {{\left| z \right|}_{\min }}\Leftrightarrow O{{M}_{\min }} \) \( \Leftrightarrow \)  M là hình chiếu của O trên d.

Phương trình đường thẳng OM đi qua O và vuông góc với d là:  \( x-2y=0 \).

Tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:  \( \left\{ \begin{align} & 4x+2y+3=0 \\  & x-2y=0 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=-\frac{3}{5} \\  & y=-\frac{3}{10} \\ \end{align} \right.\Rightarrow M\left( -\frac{3}{5};-\frac{3}{10} \right) \)

Hay  \( z=-\frac{3}{5}-\frac{3}{10}i  \).

Vậy, phần ảo của số phức z có môđun nhỏ nhất là  \( -\frac{3}{10} \).

Nhận xét: Ta có thể tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z như sau:

 \( \left| z-1+i \right|=\left| \bar{z}+1-2i \right|\Leftrightarrow \left| z-(1-i) \right|=\left| z-(-1-2i) \right| \)      (*)

Gọi M biểu diễn số phức z, điểm A(1;-1) biểu diễn số phức  \( 1-i  \), điểm B(-1;-2) biểu diễn số phức  \( -1-2i  \).

Khi đó  \( (*)\Leftrightarrow MA=MB  \).

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình  \( d:4x+2y+3=0 \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *