Trong các số phức z thỏa mãn \(\left| z-1+i \right|=\left| \bar{z}+1-2i \right|\), số phức z có môđun nhỏ nhất có phần ảo là:
A. \( \frac{3}{10} \)
B. \( \frac{3}{5} \)
C. \( -\frac{3}{5} \)
D. \( -\frac{3}{10} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án D.
Gọi \( z=x+yi \) \( (x,y\in \mathbb{R}) \) được biểu diễn bởi điểm M(x;y).
\( \left| z-1+i \right|=\left| \bar{z}+1-2i \right|\Leftrightarrow \left| (x-1)+(y+1)i \right|=\left| (x+1)-(y+2)i \right| \)
\( \Leftrightarrow \sqrt{{{(x-1)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}}=\sqrt{{{(x+1)}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}} \)
\( \Leftrightarrow 4x+2y+3=0\Leftrightarrow y=-2x-\frac{3}{2} \)
Cách 1:
\( \left| z \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( -2x-\frac{3}{2} \right)}^{2}}} \) \( =\sqrt{5{{x}^{2}}+6x+\frac{9}{4}}=\sqrt{5{{\left( x+\frac{3}{5} \right)}^{2}}+\frac{9}{20}}\ge \frac{3\sqrt{5}}{10},\text{ }\forall x \)
Suy ra: \( \min \left| z \right|=\frac{3\sqrt{5}}{10} \) khi \( \left\{ \begin{align} & x=-\frac{3}{5} \\ & y=-\frac{3}{10} \\ \end{align} \right. \).
Vậy phần ảo của số phức z có môđun nhỏ nhất là \( -\frac{3}{10} \).
Cách 2:
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng \( d:4x+2y+3=0 \).
Ta có: \( \left| z \right|=OM \)
\( {{\left| z \right|}_{\min }}\Leftrightarrow O{{M}_{\min }} \) \( \Leftrightarrow \) M là hình chiếu của O trên d.
Phương trình đường thẳng OM đi qua O và vuông góc với d là: \( x-2y=0 \).
Tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình: \( \left\{ \begin{align} & 4x+2y+3=0 \\ & x-2y=0 \\ \end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=-\frac{3}{5} \\ & y=-\frac{3}{10} \\ \end{align} \right.\Rightarrow M\left( -\frac{3}{5};-\frac{3}{10} \right) \)
Hay \( z=-\frac{3}{5}-\frac{3}{10}i \).
Vậy, phần ảo của số phức z có môđun nhỏ nhất là \( -\frac{3}{10} \).
Nhận xét: Ta có thể tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z như sau:
\( \left| z-1+i \right|=\left| \bar{z}+1-2i \right|\Leftrightarrow \left| z-(1-i) \right|=\left| z-(-1-2i) \right| \) (*)
Gọi M biểu diễn số phức z, điểm A(1;-1) biểu diễn số phức \( 1-i \), điểm B(-1;-2) biểu diễn số phức \( -1-2i \).
Khi đó \( (*)\Leftrightarrow MA=MB \).
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình \( d:4x+2y+3=0 \).
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!