Trên đường trung tuyến AD của tam giác ABC, lấy điểm E bất kì, đường thẳng BE cắt AC tại M và đường thẳng CE cắt AB tại N. Chứng minh rằng MN∥BC

Hướng dẫn giải:

Từ E dựng đường thẳng song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại P và Q. Theo định lí Thales suy ra:

 \( \frac{AP}{AB}=\frac{AE}{AD}=\frac{PE}{BD} \) và  \( \frac{AE}{AD}=\frac{AQ}{AC}=\frac{ED}{DC} \).

 \( \Rightarrow \frac{PE}{BD}=\frac{EQ}{DC},\text{ }BD=DC\Rightarrow PE=EQ \).

 \( \Rightarrow \frac{NP}{NB}=\frac{NE}{NC}=\frac{PE}{BC} \) và  \( \frac{ME}{MB}=\frac{MQ}{MC}=\frac{EQ}{BC} \)

 \( \Rightarrow \frac{NE}{NC}=\frac{ME}{MB}\Rightarrow MN\parallel BC \).

Từ kết quả này ta suy ra bài toán: Chứng minh rằng trong một hình thang, trung điểm hai cạnh đáy, giao điểm hai đường chéo, giao điểm hai đường thẳng chứa hai cạnh bên nằm trên một đường thẳng.

Kết quả này như một hệ quả được sử dụng chứng minh cho nhiều bài toán khác.