Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình 15x.5^x=5^x+1+27x+23 bằng

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có:  \( 15x{{.5}^{x}}={{5}^{x+1}}+27x+23\Leftrightarrow {{5}^{x+1}}(3x-1)=27x+23\,\,\,(1) \)

Dễ thấy  \( x=\frac{1}{3} \) không thỏa mãn phương trình trên nên ta có:

 \( {{5}^{x+1}}(3x-1)=27x+23\Leftrightarrow {{5}^{x+1}}=\frac{27x+23}{3x-1}\,\,\,(2) \)

Hàm số  \( y=f(x)={{5}^{x+1}}={{5.5}^{x}} \) đồng biến trên  \( \mathbb{R} \).

Hàm số  \( y=g(x)=\frac{27x+23}{3x-1} \), có đạo hàm  \( {g}'(x)=-\frac{96}{{{(3x-1)}^{2}}}<0 \), nên nghịch biến trên mỗi khoảng  \( \left( -\infty ;\frac{1}{3} \right) \) và  \( \left( \frac{1}{3};+\infty  \right) \).

Do đó trên mỗi khoảng  \( \left( -\infty ;\frac{1}{3} \right) \) và  \( \left( \frac{1}{3};+\infty  \right) \), phương trình (2) có nhiều nhất một nghiệm.

Ta thấy  \( x=-1 \) và  \( x=1 \) là các nghiệm lần lượt thuộc các khoảng  \( \left( -\infty ;\frac{1}{3} \right) \) và  \( \left( \frac{1}{3};+\infty  \right) \).

Do đó (2) và (1) có hai nghiệm  \( x=-1 \) và  \( x=1 \).

Tổng hai nghiệm này bằng 0.