Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình: 9.6^f(x)+(4−f^2(x)).9^f(x)≤(−m^2+5m).4^f(x) đúng ∀x∈R

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Ta có:  \( {{9.6}^{f(x)}}+\left( 4-{{f}^{2}}(x) \right){{.9}^{f(x)}}\le \left( -{{m}^{2}}+5m \right){{.4}^{f(x)}} \)

 \( \Leftrightarrow \left( 4-{{f}^{2}}(x) \right).{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2f(x)}}+9.{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{f(x)}}\le -{{m}^{2}}+5m  \) (1)

Từ đồ thị hàm số suy ra:  \( f(x)\le -2,\forall x\in \mathbb{R} \)

Do đó:  \( \left( 4-{{f}^{2}}(x) \right).{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2f(x)}}\le 0,\forall x\in \mathbb{R} \) và  \( 9.{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{f(x)}}\le 9.{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{-2}}=4,\forall x\in \mathbb{R} \)

Suy ra:  \( \Leftrightarrow \left( 4-{{f}^{2}}(x) \right).{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2f(x)}}+9.{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{f(x)}}\le 4,\forall x\in \mathbb{R} \)

Để (1) có nghiệm đúng  \( \forall x\in \mathbb{R} \) thì  \( 4\le -{{m}^{2}}+5m\Leftrightarrow 1\le m\le 4 \)

Mà  \( \xrightarrow{m\in \mathbb{Z}}m\in \left\{ 1,2,3,4 \right\} \)