Tổng tất cả các giá trị của tham số m sao cho đồ thị hàm số y=x^3−3mx^2+4m^3 có điểm cực đại và cực tiểu đối xứng với nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có:  \( {y}’=3{{x}^{2}}-6mx  \),  \( {y}’=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0 \\  & x=2m \\ \end{align} \right. \)

Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì  \( m\ne 0 \).

Khi đó các điểm cực trị của đồ thị là:  \( A\left( 0;4{{m}^{3}} \right) \),  \( B\left( 2m;0 \right) \).

Ta có:  \( I\left( m;2{{m}^{3}} \right) \) là trung điểm càu đoạn thẳng AB.

Đường phân giác của góc phần tư thứ nhất là  \( d:x-y=0 \)

Do đó, để điểm cực đại và cực tiểu đối xứng với nhau qua d thì:  \( \left\{ \begin{align} & 2m-4{{m}^{3}}=0 \\ & m-2{{m}^{3}}=0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow 1-2{{m}^{2}}=0 \)

 \( \Leftrightarrow m=\pm \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Vậy tổng tất cả các giá trị của tham số m là 0.