Tính tổng tất cả các giá trị của m biết đồ thị hàm số \( y={{x}^{3}}+2m{{x}^{2}}+(m+3)x+4 \) và đường thẳng \( y=x+4 \) cắt nhau tại ba điểm phân biệt A(0;4), B, C sao cho diện tích tam giác IBC bằng \( 8\sqrt{2} \) với I(1;3).
A. 3
B. 8
C. 1
D. 5
Hướng dẫn giải:
Đáp án C.
Gọi đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}+2m{{x}^{2}}+(m+3)x+4\) là (Cm) và đồ thị hàm số \( y=x+4 \) là (d).
Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và (d) là
\( {{x}^{3}}+2m{{x}^{2}}+(m+3)x+4=x+4 \) \( \Leftrightarrow {{x}^{3}}+2m{{x}^{2}}+(m+2)x=0 \) (*)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & g(x)={{x}^{2}}+2mx+m+2=0 \\ \end{align} \right. \)
(d) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \) phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow \) phương trình g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{{{\Delta }’}}_{g}}>0 \\ & g(0)\ne 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{m}^{2}}-m-2>0 \\ & m+2\ne 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \begin{cases} \left[\begin{array}{l} m<-1 \\ m>2 \end{array}\right. \\ m\ne -2 \end{cases} \) (**)
+ Với x = 0 là hoành độ điểm A, hoành độ điểm B, C là hai nghiệm x1, x2 của phương trình g(x) = 0.
+ \( B{{C}^{2}}={{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left[ \left( {{x}_{2}}+4 \right)-\left( {{x}_{1}}+4 \right) \right]}^{2}}=2{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}} \) (do B, C thuộc đường thẳng (d))
\( =2\left[ {{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]=8\left( {{m}^{2}}-m-2 \right) \)
+ Viết phương trình đường thẳng (d) dưới dạng \( x-y+4=0 \), ta có:
\( {{d}_{\left( I,(d) \right)}}=\frac{\left| 1-3+4 \right|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2} \)
+ \( {{S}_{\Delta IBC}}=8\sqrt{2}\Leftrightarrow \frac{1}{2}BC.{{d}_{\left( I,(d) \right)}}=8\sqrt{2} \)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{4}B{{C}^{2}}.{{\left[ {{d}_{\left( I,(d) \right)}} \right]}^{2}}=128\Leftrightarrow \frac{1}{4}.8\left( {{m}^{2}}-m-2 \right).2=128 \)
\( \Leftrightarrow {{m}^{2}}-m-34=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=\frac{1+\sqrt{137}}{2} \\ & m=\frac{1-\sqrt{137}}{2} \\ \end{align} \right. \) (thỏa điều kiện (**))
Vậy tổng tất cả các giá trị m là 1.
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!