Tính tổng tất cả các giá trị của m biết đồ thị hàm số y=x^3+2mx^2+(m+3)x+4 và đường thẳng y=x+4 cắt nhau tại ba điểm phân biệt A(0;4), B, C sao cho diện tích tam giác IBC bằng 8√2 với I(1;3)

Tính tổng tất cả các giá trị của m biết đồ thị hàm số \( y={{x}^{3}}+2m{{x}^{2}}+(m+3)x+4 \) và đường thẳng  \( y=x+4 \) cắt nhau tại ba điểm phân biệt A(0;4), B, C sao cho diện tích tam giác IBC bằng  \( 8\sqrt{2} \) với I(1;3).

A. 3

B. 8

C. 1                                   

D. 5

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Gọi đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}+2m{{x}^{2}}+(m+3)x+4\) là (Cm) và đồ thị hàm số  \( y=x+4 \) là (d).

Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và (d) là

 \( {{x}^{3}}+2m{{x}^{2}}+(m+3)x+4=x+4 \) \( \Leftrightarrow {{x}^{3}}+2m{{x}^{2}}+(m+2)x=0 \) (*)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\  & g(x)={{x}^{2}}+2mx+m+2=0 \\ \end{align} \right. \)

(d) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt  \( \Leftrightarrow  \) phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt

 \( \Leftrightarrow  \) phương trình g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{{{\Delta }’}}_{g}}>0 \\ & g(0)\ne 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{m}^{2}}-m-2>0 \\ & m+2\ne 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \begin{cases} \left[\begin{array}{l} m<-1  \\ m>2 \end{array}\right.  \\ m\ne -2  \end{cases} \) (**)

+ Với x = 0 là hoành độ điểm A, hoành độ điểm B, C là hai nghiệm x1, xcủa phương trình g(x) = 0.

+  \( B{{C}^{2}}={{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left[ \left( {{x}_{2}}+4 \right)-\left( {{x}_{1}}+4 \right) \right]}^{2}}=2{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}} \) (do B, C thuộc đường thẳng (d))

 \( =2\left[ {{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]=8\left( {{m}^{2}}-m-2 \right) \)

+ Viết phương trình đường thẳng (d) dưới dạng  \( x-y+4=0 \), ta có:

 \( {{d}_{\left( I,(d) \right)}}=\frac{\left| 1-3+4 \right|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2} \)

+  \( {{S}_{\Delta IBC}}=8\sqrt{2}\Leftrightarrow \frac{1}{2}BC.{{d}_{\left( I,(d) \right)}}=8\sqrt{2} \)

 \( \Leftrightarrow \frac{1}{4}B{{C}^{2}}.{{\left[ {{d}_{\left( I,(d) \right)}} \right]}^{2}}=128\Leftrightarrow \frac{1}{4}.8\left( {{m}^{2}}-m-2 \right).2=128 \)

\( \Leftrightarrow {{m}^{2}}-m-34=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=\frac{1+\sqrt{137}}{2} \\  & m=\frac{1-\sqrt{137}}{2} \\ \end{align} \right. \) (thỏa điều kiện (**))

Vậy tổng tất cả các giá trị m là 1.

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 7b4a035yn3 may not exist

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *