Tính tổng tất cả các giá trị của m biết đồ thị hàm số y=x^3+2mx^2+(m+3)x+4 và đường thẳng y=x+4 cắt nhau tại ba điểm phân biệt A(0;4), B, C sao cho diện tích tam giác IBC bằng 8√2 với I(1;3)

Tính tổng tất cả các giá trị của m biết đồ thị hàm số \( y={{x}^{3}}+2m{{x}^{2}}+(m+3)x+4 \) và đường thẳng  \( y=x+4 \) cắt nhau tại ba điểm phân biệt A(0;4), B, C sao cho diện tích tam giác IBC bằng  \( 8\sqrt{2} \) với I(1;3).

A. 3

B. 8

C. 1                                   

D. 5

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Gọi đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}+2m{{x}^{2}}+(m+3)x+4\) là (Cm) và đồ thị hàm số  \( y=x+4 \) là (d).

Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và (d) là

 \( {{x}^{3}}+2m{{x}^{2}}+(m+3)x+4=x+4 \) \( \Leftrightarrow {{x}^{3}}+2m{{x}^{2}}+(m+2)x=0 \) (*)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\  & g(x)={{x}^{2}}+2mx+m+2=0 \\ \end{align} \right. \)

(d) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt  \( \Leftrightarrow  \) phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt

 \( \Leftrightarrow  \) phương trình g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{{{\Delta }’}}_{g}}>0 \\ & g(0)\ne 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{m}^{2}}-m-2>0 \\ & m+2\ne 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \begin{cases} \left[\begin{array}{l} m<-1  \\ m>2 \end{array}\right.  \\ m\ne -2  \end{cases} \) (**)

+ Với x = 0 là hoành độ điểm A, hoành độ điểm B, C là hai nghiệm x1, xcủa phương trình g(x) = 0.

+  \( B{{C}^{2}}={{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left[ \left( {{x}_{2}}+4 \right)-\left( {{x}_{1}}+4 \right) \right]}^{2}}=2{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}} \) (do B, C thuộc đường thẳng (d))

 \( =2\left[ {{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]=8\left( {{m}^{2}}-m-2 \right) \)

+ Viết phương trình đường thẳng (d) dưới dạng  \( x-y+4=0 \), ta có:

 \( {{d}_{\left( I,(d) \right)}}=\frac{\left| 1-3+4 \right|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2} \)

+  \( {{S}_{\Delta IBC}}=8\sqrt{2}\Leftrightarrow \frac{1}{2}BC.{{d}_{\left( I,(d) \right)}}=8\sqrt{2} \)

 \( \Leftrightarrow \frac{1}{4}B{{C}^{2}}.{{\left[ {{d}_{\left( I,(d) \right)}} \right]}^{2}}=128\Leftrightarrow \frac{1}{4}.8\left( {{m}^{2}}-m-2 \right).2=128 \)

\( \Leftrightarrow {{m}^{2}}-m-34=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=\frac{1+\sqrt{137}}{2} \\  & m=\frac{1-\sqrt{137}}{2} \\ \end{align} \right. \) (thỏa điều kiện (**))

Vậy tổng tất cả các giá trị m là 1.

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *