Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số \( y=\frac{{{x}^{2}}+mx+1}{x+m} \) liên tục và đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn \( \left[ 0;2 \right] \) tại một điểm \( {{x}_{0}}\in \left( 0;2 \right) \).
A. \( 0<m<1 \)
B. \( m>1 \)
C. \( m>2 \)
D. \( -1<m<1 \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án A.
Cách 1:
Tập xác định: \( D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -m \right\} \).
Hàm số liên tục trên \( \left[ 0;2 \right] \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & -m<0 \\ & -m>2 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m>0 \\ & m<-2 \\ \end{align} \right. \)
Ta có: \( {y}’=\frac{{{x}^{2}}+2mx+{{m}^{2}}-1}{{{\left( x+m \right)}^{2}}}=\frac{{{\left( x+m \right)}^{2}}-1}{{{\left( x+m \right)}^{2}}} \)
Cho \( {y}’=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{x}_{1}}=-m-1 \\ & {{x}_{2}}=-m+1 \\ \end{align} \right. \)
Ta có bảng biến thiên:
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại \( {{x}_{0}}\in \left( 0;2 \right) \) nên \( 0<-m+1<2\Leftrightarrow -1<m<1 \).
So với điều kiện hàm số liên tục trên đoạn \( \left[ 0;2 \right] \). Ta có: \( 0<m<1 \)
Cách 2:
Điều kiện xác định: \( x\ne -m \)
Hàm số liên tục trên đoạn \( \left[ 0;2 \right] \) nên \( -m\notin \left[ 0;2 \right] \)
\( \Rightarrow \left[ \begin{align}& -m<0 \\ & -m>2 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m>0 \\ & m<-2 \\ \end{align} \right.\text{ }(*) \)
\( {y}’=\frac{{{x}^{2}}+2mx+{{m}^{2}}-1}{{{\left( x+m \right)}^{2}}}=\frac{{{\left( x+m \right)}^{2}}-1}{{{\left( x+m \right)}^{2}}} \)
\( {y}’=0 \) có hai nghiệm là \( \left[ \begin{align} & {{x}_{1}}=-m+1 \\ & {{x}_{2}}=-m-1 \\ \end{align} \right. \).
\( {{x}_{1}}-{{x}_{2}}=2 \) nên chỉ có nhiều nhất một nghiệm thuộc \( \left( 0;2 \right) \).
Ta thấy: \( -m+1>-m-1,\forall m \) và do đó để hàm số liên tục và đạt giá trị nhỏ nhất trên \( \left[ 0;2 \right] \) tại một điểm \( {{x}_{0}}\in \left( 0;2 \right) \) thì \( 0<-m+1<2\Leftrightarrow -1<m<1 \) (**)
Từ (*), (**) ta có: \( 0<m<1 \)
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!