Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số y=(x^2+mx+1)/(x+m) liên tục và đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0;2] tại một điểm x0∈(0;2)

Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số \( y=\frac{{{x}^{2}}+mx+1}{x+m} \) liên tục và đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn  \( \left[ 0;2 \right] \) tại một điểm  \( {{x}_{0}}\in \left( 0;2 \right) \).

A. \( 0<m<1 \)

B.  \( m>1 \)                     

C.  \( m>2 \)                     

D.  \( -1<m<1 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Cách 1:

Tập xác định:  \( D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -m \right\} \).

Hàm số liên tục trên  \( \left[ 0;2 \right] \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & -m<0 \\  & -m>2 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m>0 \\  & m<-2 \\ \end{align} \right. \)

Ta có:  \( {y}’=\frac{{{x}^{2}}+2mx+{{m}^{2}}-1}{{{\left( x+m \right)}^{2}}}=\frac{{{\left( x+m \right)}^{2}}-1}{{{\left( x+m \right)}^{2}}} \)

Cho  \( {y}’=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{x}_{1}}=-m-1 \\  & {{x}_{2}}=-m+1 \\ \end{align} \right. \)

Ta có bảng biến thiên:

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại  \( {{x}_{0}}\in \left( 0;2 \right) \) nên  \( 0<-m+1<2\Leftrightarrow -1<m<1 \).

So với điều kiện hàm số liên tục trên đoạn  \( \left[ 0;2 \right] \). Ta có:  \( 0<m<1 \)

Cách 2:

Điều kiện xác định:  \( x\ne -m  \)

Hàm số liên tục trên  đoạn  \( \left[ 0;2 \right] \) nên  \( -m\notin \left[ 0;2 \right] \)

\( \Rightarrow \left[ \begin{align}& -m<0 \\ & -m>2 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m>0 \\  & m<-2 \\ \end{align} \right.\text{ }(*) \)

 \( {y}’=\frac{{{x}^{2}}+2mx+{{m}^{2}}-1}{{{\left( x+m \right)}^{2}}}=\frac{{{\left( x+m \right)}^{2}}-1}{{{\left( x+m \right)}^{2}}} \)

 \( {y}’=0 \) có hai nghiệm là  \( \left[ \begin{align}  & {{x}_{1}}=-m+1 \\  & {{x}_{2}}=-m-1 \\ \end{align} \right. \).

 \( {{x}_{1}}-{{x}_{2}}=2 \) nên chỉ có nhiều nhất một nghiệm thuộc  \( \left( 0;2 \right) \).

Ta thấy:  \( -m+1>-m-1,\forall m  \) và do đó để hàm số liên tục và đạt giá trị nhỏ nhất trên  \( \left[ 0;2 \right] \) tại một điểm  \( {{x}_{0}}\in \left( 0;2 \right) \) thì  \( 0<-m+1<2\Leftrightarrow -1<m<1 \) (**)

Từ (*), (**) ta có:  \( 0<m<1 \)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *