Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số y=(x^2+mx+1)/(x+m) liên tục và đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0;2] tại một điểm x0∈(0;2)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Cách 1:

Tập xác định:  \( D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -m \right\} \).

Hàm số liên tục trên  \( \left[ 0;2 \right] \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & -m<0 \\  & -m>2 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m>0 \\  & m<-2 \\ \end{align} \right. \)

Ta có:  \( {y}’=\frac{{{x}^{2}}+2mx+{{m}^{2}}-1}{{{\left( x+m \right)}^{2}}}=\frac{{{\left( x+m \right)}^{2}}-1}{{{\left( x+m \right)}^{2}}} \)

Cho  \( {y}’=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{x}_{1}}=-m-1 \\  & {{x}_{2}}=-m+1 \\ \end{align} \right. \)

Ta có bảng biến thiên:

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại  \( {{x}_{0}}\in \left( 0;2 \right) \) nên  \( 0<-m+1<2\Leftrightarrow -1<m<1 \).

So với điều kiện hàm số liên tục trên đoạn  \( \left[ 0;2 \right] \). Ta có:  \( 0<m<1 \)

Cách 2:

Điều kiện xác định:  \( x\ne -m  \)

Hàm số liên tục trên  đoạn  \( \left[ 0;2 \right] \) nên  \( -m\notin \left[ 0;2 \right] \)

\( \Rightarrow \left[ \begin{align}& -m<0 \\ & -m>2 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m>0 \\  & m<-2 \\ \end{align} \right.\text{ }(*) \)

 \( {y}’=\frac{{{x}^{2}}+2mx+{{m}^{2}}-1}{{{\left( x+m \right)}^{2}}}=\frac{{{\left( x+m \right)}^{2}}-1}{{{\left( x+m \right)}^{2}}} \)

 \( {y}’=0 \) có hai nghiệm là  \( \left[ \begin{align}  & {{x}_{1}}=-m+1 \\  & {{x}_{2}}=-m-1 \\ \end{align} \right. \).

 \( {{x}_{1}}-{{x}_{2}}=2 \) nên chỉ có nhiều nhất một nghiệm thuộc  \( \left( 0;2 \right) \).

Ta thấy:  \( -m+1>-m-1,\forall m  \) và do đó để hàm số liên tục và đạt giá trị nhỏ nhất trên  \( \left[ 0;2 \right] \) tại một điểm  \( {{x}_{0}}\in \left( 0;2 \right) \) thì  \( 0<-m+1<2\Leftrightarrow -1<m<1 \) (**)

Từ (*), (**) ta có:  \( 0<m<1 \)