Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y=x^3−3mx^2+2 có hai điểm cực trị A và B sao cho các điểm A, B và M(1;−2) thẳng hàng

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Ta có:  \( {y}’=3{{x}^{2}}-6mx  \);

 \( {y}’=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6mx=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\  & x=2m \\ \end{align} \right. \)

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt

 \( \Leftrightarrow 2m\ne 0\Leftrightarrow m\ne 0 \)

Khi đó, hai điểm cực trị là  \( A\left( 0;2 \right), B\left( 2m;2-4{{m}^{3}} \right) \).

Ta có:  \( \overrightarrow{MA}=\left( -1;4 \right) \),  \( \overrightarrow{MB}=\left( 2m-1;4-4{{m}^{3}} \right) \)

Ba điểm A, B và  \( M\left( 1;-2 \right) \) thẳng hàng  \( \Leftrightarrow \overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB} \) cùng phương

 \( \Leftrightarrow \frac{2m-1}{-1}=\frac{4-4{{m}^{3}}}{4}\Leftrightarrow \frac{2m-1}{-1}=\frac{1-{{m}^{3}}}{1} \)

 \( \Leftrightarrow 2m-1={{m}^{3}}-1\Leftrightarrow {{m}^{3}}=2m  \)

 \( \Leftrightarrow {{m}^{2}}=2\Leftrightarrow m=\pm \sqrt{2} \) (do  \( m\ne 0 \))