Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y=(tanx−2)/(tanx−m) đồng biến trên khoảng (0;π/4)

Hướng dẫn giải:

 Đáp án A.

Đặt\( t=\tan x\overset{x\in \left( 0;\frac{\pi }{4} \right)}{\rightarrow}t\in (0;1) \).

Do \( t=\tan x \) đồng biến trên khoảng \( \left( 0;\frac{\pi }{4} \right) \) (có thể dùng hàm số kiểm tra: \( {t}’=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}>0,\forall x\in \left( 0;\frac{\pi }{4} \right) \))

Nên yêu cầu bài toán sẽ giữ nguyên đồng biến  \( \to \) đồng biến hay bài toán phát biểu lại thành:

“Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho hàm số  \( y=\frac{t-2}{t-m} \) đồng biến trên khoảng (0;1)”.

Bài toán tương đương:  \( {y}’=\frac{-m+2}{{{(t-m)}^{2}}}>0,\forall t\in (0;1) \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& -m+2>0 \\& m\notin (0;1) \\\end{align} \right. \)\ \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m<2 \\ \left [ \begin{matrix} m\le 0 \\ m\ge 1 \end{matrix} \right. \end{matrix}\right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m\le 0 \\& 1\le m<2 \\\end{align} \right. \)