Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình e^3m+e^m=2(x+√(1-x^2))(1+x√(1-x^2)) có nghiệm

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình ${{e}^{3m}}+{{e}^{m}}=2\left( x+\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)\left( 1+x\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)$ có nghiệm.

A. $\left( 0;\frac{1}{2}\ln 2 \right)$

B. $\left( -\infty ;\frac{1}{2}\ln 2 \right]$

C. $\left( 0;\frac{1}{e} \right)$                   

D. $\left[ \frac{1}{2}\ln 2;+\infty  \right)$

Hướng dẫn giải:

Đặt $t=x+\sqrt{1-{{x}^{2}}}\Rightarrow {{t}^{2}}=1+2x\sqrt{1-{{x}^{2}}}$ \( \Rightarrow x\sqrt{1-{{x}^{2}}}=\frac{{{t}^{2}}-1}{2} \)

Ta có: ${t}’=\frac{\sqrt{1-{{x}^{2}}}-x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}};{t}’=0\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Vậy $t\in \left[ -1;\sqrt{2} \right]$.

Phương trình trở thành ${{e}^{3m}}+{{e}^{m}}=2t\left( 1+\frac{{{t}^{2}}-1}{2} \right)$

$\Leftrightarrow {{e}^{3m}}+{{e}^{m}}={{t}^{3}}+t\Leftrightarrow {{e}^{m}}=t$ (Sử dụng hàm đặc trưng)

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \(-1\le {{e}^{m}}\le \sqrt{2}\Leftrightarrow m\le \ln \sqrt{2}\Leftrightarrow m\in \left( -\infty ;\frac{1}{2}\ln 2 \right]\)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *