Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 4^x – 2^(x+1)+m=0 có hai nghiệm thực phân biệt

Hướng dẫn giải:

Đáp án D

Đặt \(t={{2}^{x}}(t>0)\), khi đó phương trình có dạng: \({{t}^{2}}-2t+m=0\begin{matrix}{} & (*)  \\\end{matrix}\)

Cách 1: Do \(t={{2}^{x}}\) nên ứng với 1 giá trị \(t>0\) cho ta 1 nghiệm x. Do đó để phương trình có hai nghiệm phân biệt x thì (*) phải có hai nghiệm phân biệt dương.

\(\left\{ \begin{align}& {\Delta }’=1-m>0 \\& S=2>0 \\& P=m>0 \\\end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow 0<m<1\Rightarrow m\in \left( 0;1 \right)\)

Cách 2: \((*)\Leftrightarrow m=-{{t}^{2}}+2t\begin{matrix}{} & {}  \\\end{matrix}(**)\)

Xét hàm số \(f(t)=-{{t}^{2}}+2t\) với \(t>0\).

Ta có: \({f}'(t)=-2t+2;{f}'(t)=0\Leftrightarrow t=1\)

Số nghiệm của (**) chính là số giao điểm của đồ thị hàm số \(f(t)=-{{t}^{2}}+2t\) và đường thẳng \(y=m\) (có phương song song hoặc trùng với Ox).

Do đó để phương trình ban đầu có hai nghiệm phân biệt thì (**) cần có 2 nghiệm  phân biệt dương.

Dựa vào bảng biến thiên suy ra: \(0<m<1\Rightarrow m\in \left( 0;1 \right)\)