Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y=(m−sinx)/cos^2x nghịch biến trên (0;π/6)

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số  \( y=\frac{m-\sin x}{{{\cos }^{2}}x} \) nghịch biến trên  \( \left( 0;\frac{\pi }{6} \right) \).

A. m > 1

B. \(m\le \frac{5}{2} \)       

C. \( m\le \frac{5}{4} \)  

D. m < 2

Hướng dẫn giải:

 Đáp án C.

Đặt \( t=\sin x \overset{x\in \left( 0;\frac{\pi }{6} \right)}{\rightarrow} t\in \left( 0;\frac{1}{2} \right) \).

Vì sinx đồng biến trên \( \left( 0;\frac{\pi }{6} \right) \) nên bài toán được phát biểu lại là:

“Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số  \( f(t)=\frac{m-t}{{{t}^{2}}-1} \) nghịch biến trên khoảng  \( \left( 0;\frac{1}{2} \right) \)”.

Khi đó:  \( {f}'(t)=-\frac{{{t}^{2}}-2mt+1}{{{({{t}^{2}}-1)}^{2}}}\ge 0,\forall t\in \left( 0;\frac{1}{2} \right) \) \( \Leftrightarrow m\le \frac{{{t}^{2}}+1}{2t}=g(t),\forall t\in \left( 0;\frac{1}{2} \right)\Leftrightarrow m\le \underset{\left( 0;\frac{1}{2} \right]}{\mathop \min g(t)}\, \)

Xét hàm số \(g(t)=\frac{{{t}^{2}}+1}{2t}\) với \(t\in \left( 0;\frac{1}{2} \right]\) (do hàm số liên tục tại \(t=\frac{1}{2}\)).

Ta có: \({g}'(t)=\frac{{{t}^{2}}-1}{2{{t}^{2}}}=\frac{(t-1)(t+1)}{2{{t}^{2}}}<0,\forall t\in \left( 0;\frac{1}{2} \right]\), suy ra hàm số nghịch biến trên \(\left( 0;\frac{1}{2} \right]\)

Suy ra \(\underset{\left( 0;\frac{1}{2} \right]}{\mathop \min g(t)}\,=g\left( \frac{1}{2} \right)=\frac{5}{4}\).

Vậy \(m\le \frac{5}{4}\).

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Sách Toán học 12!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *