Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \( y=\frac{m-\sin x}{{{\cos }^{2}}x} \) nghịch biến trên \( \left( 0;\frac{\pi }{6} \right) \).
A. m > 1
B. \(m\le \frac{5}{2} \)
C. \( m\le \frac{5}{4} \)
D. m < 2
Hướng dẫn giải:
Đáp án C.
Đặt \( t=\sin x \overset{x\in \left( 0;\frac{\pi }{6} \right)}{\rightarrow} t\in \left( 0;\frac{1}{2} \right) \).
Vì sinx đồng biến trên \( \left( 0;\frac{\pi }{6} \right) \) nên bài toán được phát biểu lại là:
“Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \( f(t)=\frac{m-t}{{{t}^{2}}-1} \) nghịch biến trên khoảng \( \left( 0;\frac{1}{2} \right) \)”.
Khi đó: \( {f}'(t)=-\frac{{{t}^{2}}-2mt+1}{{{({{t}^{2}}-1)}^{2}}}\ge 0,\forall t\in \left( 0;\frac{1}{2} \right) \) \( \Leftrightarrow m\le \frac{{{t}^{2}}+1}{2t}=g(t),\forall t\in \left( 0;\frac{1}{2} \right)\Leftrightarrow m\le \underset{\left( 0;\frac{1}{2} \right]}{\mathop \min g(t)}\, \)
Xét hàm số \(g(t)=\frac{{{t}^{2}}+1}{2t}\) với \(t\in \left( 0;\frac{1}{2} \right]\) (do hàm số liên tục tại \(t=\frac{1}{2}\)).
Ta có: \({g}'(t)=\frac{{{t}^{2}}-1}{2{{t}^{2}}}=\frac{(t-1)(t+1)}{2{{t}^{2}}}<0,\forall t\in \left( 0;\frac{1}{2} \right]\), suy ra hàm số nghịch biến trên \(\left( 0;\frac{1}{2} \right]\)
Suy ra \(\underset{\left( 0;\frac{1}{2} \right]}{\mathop \min g(t)}\,=g\left( \frac{1}{2} \right)=\frac{5}{4}\).
Vậy \(m\le \frac{5}{4}\).
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!