Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y=mx−m+1 cắt đồ thị hàm số y=x^3−3x^2+x+2 tại ba điểm A, B, C phân biệt sao cho AB = BC

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Ta có phương trình hoành độ giao điểm là: \( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x+2=mx-m+1 \)

 \( \Leftrightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x-mx+m+1=0 \) (1)

 \( \Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}-2x-m-1 \right)=0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=1 \\ & {{x}^{2}}-2x-m-1=0 \\ \end{align} \right. \)

Để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt thì phương trình  \( {{x}^{2}}-2x-m-1=0 \) có hai nghiệm phân biệt khác 1.

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 1+m+1>0 \\  & 1-2-m-1\ne 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& m>-2 \\ & m\ne -2 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m>-2\)

Vậy với  \( m>-2 \) thì phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt là 1, x1, x2 (x1, x2 là nghiệm của  \( {{x}^{2}}-2x-m-1=0 \)).

Mà  \( \frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2}=1 \)  suy ra điểm có hoành độ x = 1 luôn là trung điểm của hai điểm còn lại.

Nên luôn có 3 điểm A, B, C thỏa mãn AB = BC.

Vậy  \( m>-2 \).