Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số \( y={{x}^{3}}-3mx+2 \) cắt đường tròn (C) có tâm I(1;1), bán kính bằng 1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất.
A. \( m=\frac{2\pm \sqrt{3}}{3} \)
B. \( m=\frac{2\pm \sqrt{3}}{2} \)
C. \( m=\frac{1\pm \sqrt{3}}{2} \)
D. \( m=\frac{2\pm \sqrt{5}}{2} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án A.
Ta có: \( {y}’=3{{x}^{2}}-3m \) suy ra đồ thị hàm số có điểm cực đại và cực tiểu khi m > 0.
Các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số là \( C\left( -\sqrt{m};2+2m\sqrt{m} \right) \), \( D\left( \sqrt{m};2-2m\sqrt{m} \right) \).
Đường thẳng \( \Delta \) đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số có phương trình là: \( y=-2mx+ \)2
Do \( {{d}_{\left( I,\Delta \right)}}=\frac{\left| 2m-1 \right|}{\sqrt{4{{m}^{2}}+1}}<R=1 \) (vì m > 0) \( \Rightarrow \Delta \) luôn cắt đường tròn tâm \( I(1;1) \), bán kính R = 1 tại 2 điểm A, B phân biệt.
Dễ thấy \( m=\frac{1}{2} \) không thỏa mãn do A, I, B thẳng hàng.
Với \( m\ne \frac{1}{2} \): \( \Delta \) không đi qua I, ta có: \( {{S}_{\Delta ABI}}=\frac{1}{2}IA.IB.\sin \widehat{AIB}\le \frac{1}{2}{{R}^{2}}=\frac{1}{2} \)
Do đó: \( {{\left( {{S}_{\Delta IAB}} \right)}_{\max }}=\frac{1}{2} \) khi \( \sin \widehat{AIB}=1 \) hay \( \Delta AIB \) vuông tại I
\( \Leftrightarrow IH=\frac{R}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow \frac{\left| 2m-1 \right|}{\sqrt{4{{m}^{2}}+1}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \) \( \Leftrightarrow m=\frac{2\pm \sqrt{3}}{2} \) (H là trung điểm của AB)
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!