Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số y=x^3−3mx+2 cắt đường tròn (C) có tâm I(1;1), bán kính bằng 1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Ta có:  \( {y}’=3{{x}^{2}}-3m  \) suy ra đồ thị hàm số có điểm cực đại và cực tiểu khi m > 0.

Các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số là  \( C\left( -\sqrt{m};2+2m\sqrt{m} \right) \),  \( D\left( \sqrt{m};2-2m\sqrt{m} \right) \).

Đường thẳng  \( \Delta  \) đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số có phương trình là:  \( y=-2mx+ \)2

Do  \( {{d}_{\left( I,\Delta  \right)}}=\frac{\left| 2m-1 \right|}{\sqrt{4{{m}^{2}}+1}}<R=1 \)  (vì m > 0)  \( \Rightarrow \Delta  \) luôn cắt đường tròn tâm  \( I(1;1) \), bán kính R = 1 tại 2 điểm A, B phân biệt.

Dễ thấy  \( m=\frac{1}{2} \) không thỏa mãn do A, I, B thẳng hàng.

Với  \( m\ne \frac{1}{2} \):  \( \Delta  \) không đi qua I, ta có:  \( {{S}_{\Delta ABI}}=\frac{1}{2}IA.IB.\sin \widehat{AIB}\le \frac{1}{2}{{R}^{2}}=\frac{1}{2} \)

Do đó:  \( {{\left( {{S}_{\Delta IAB}} \right)}_{\max }}=\frac{1}{2} \) khi  \( \sin \widehat{AIB}=1 \) hay  \( \Delta AIB  \) vuông tại I

 \( \Leftrightarrow IH=\frac{R}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow \frac{\left| 2m-1 \right|}{\sqrt{4{{m}^{2}}+1}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \) \( \Leftrightarrow m=\frac{2\pm \sqrt{3}}{2} \) (H là trung điểm của AB)