Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y=(x+m)/(x2^+x+1) có giá trị lớn nhất trên R nhỏ hơn hoặc bằng 1

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

TXĐ:  \( D=\mathbb{R} \)

 \( \underset{x\to \infty }{\mathop{lim }}\,y=0 \)

 \( {y}’=\frac{-{{x}^{2}}-2mx+1-m}{{{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)}^{2}}} \)

 \( {y}’=0\Leftrightarrow -{{x}^{2}}-2mx+1-m=0 \) (*)

\({{{\Delta }’}_{(*)}}={{m}^{2}}-m+1>0,\forall m\in \mathbb{R}\) nên (*) có 2 nghiệm phân biệt  \( {{x}_{1}}<{{x}_{2}},\forall m\in \mathbb{R} \)

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất là \(f({{x}_{2}})=\frac{1}{2{{x}_{2}}+1}\) với \({{x}_{2}}=-m+\sqrt{{{m}^{2}}-m+1}\).

Yêu cầu bài toán  \( \Leftrightarrow \frac{1}{-2m+2\sqrt{{{m}^{2}}-m+1}+1}\le 1 \) \( \Leftrightarrow 1-2m+2\sqrt{{{m}^{2}}-m+1}\ge 1 \) (vì  \( f({{x}_{2}})>0\Rightarrow 2{{x}_{2}}+1>0 \))

 \( \Leftrightarrow \sqrt{{{m}^{2}}-m+1}\ge m  \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}   & m<0    \\   & \left\{\begin{matrix} m\ge 0  \\ {{m}^{2}}-m+1\ge {{m}^{2}}  \end{matrix}\right.  \\  \end{align} \right.\Leftrightarrow m\le 1  \)