Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y=x^4+4mx^3+3(m+1)x^2+1 có cực tiểu mà không có cực đại

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Ta có:  \( {y}’=4{{x}^{3}}+12m{{x}^{2}}+6(m+1)x  \)

+ Trường hợp 1:  \( m=-1 \), ta có:  \( {y}’=4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}=4{{x}^{2}}\left( x-3 \right) \)

Bảng xét dấu:

Hàm số có 1 cực tiểu duy nhất.

Ta có:  \( {y}’=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0 \\  & 2{{x}^{2}}+6mx+3m+3=0\text{  }(*) \\ \end{align} \right. \)

+ Trường hợp 2:  \( m\ne -1 \)

Để hàm số đã cho chỉ có một cực tiểu thì phương trình (*) không có hai nghiệm phân biệt

 \( \Leftrightarrow {{\left( 3m \right)}^{2}}-2\left( 3m+3 \right)\le 0\Leftrightarrow \frac{1-\sqrt{7}}{2}\le m\le \frac{1+\sqrt{7}}{2} \)

Vậy  \( m\in \left[ \frac{1-\sqrt{7}}{2};\frac{1+\sqrt{7}}{2} \right]\cup \left\{ -1 \right\} \)