Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y=x^4+4mx^3+3(m+1)x^2+1 có cực tiểu mà không có cực đại

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số  \( y={{x}^{4}}+4m{{x}^{3}}+3\left( m+1 \right){{x}^{2}}+1 \) có cực tiểu mà không có cực đại.

A. \( m\in \left( -\infty ;\frac{1-\sqrt{7}}{3} \right] \)

B.  \( m\in \left[ \frac{1-\sqrt{7}}{3};1 \right]\cup \left\{ -1 \right\} \)                         

C.  \( m\in \left[ \frac{1+\sqrt{7}}{3};+\infty  \right) \)    

D.  \( m\in \left[ \frac{1-\sqrt{7}}{3};\frac{1+\sqrt{7}}{3} \right]\cup \left\{ -1 \right\} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Ta có:  \( {y}’=4{{x}^{3}}+12m{{x}^{2}}+6(m+1)x  \)

+ Trường hợp 1:  \( m=-1 \), ta có:  \( {y}’=4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}=4{{x}^{2}}\left( x-3 \right) \)

Bảng xét dấu:

 

Hàm số có 1 cực tiểu duy nhất.

Ta có:  \( {y}’=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0 \\  & 2{{x}^{2}}+6mx+3m+3=0\text{  }(*) \\ \end{align} \right. \)

+ Trường hợp 2:  \( m\ne -1 \)

Để hàm số đã cho chỉ có một cực tiểu thì phương trình (*) không có hai nghiệm phân biệt

 \( \Leftrightarrow {{\left( 3m \right)}^{2}}-2\left( 3m+3 \right)\le 0\Leftrightarrow \frac{1-\sqrt{7}}{2}\le m\le \frac{1+\sqrt{7}}{2} \)

Vậy  \( m\in \left[ \frac{1-\sqrt{7}}{2};\frac{1+\sqrt{7}}{2} \right]\cup \left\{ -1 \right\} \)

 

Các bài toán liên quan

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *