Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y=mx^3−3mx^2+3m−3 có hai điểm cực trị A, B sao cho 2AB^2−(OA^2+OB^2)=20 (trong đó O là gốc tọa độ)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Tập xác định:  \( D=\mathbb{R} \)

Ta có:  \( {y}’=3m{{x}^{2}}-6mx  \)

Hàm số có hai điểm cực trị  \( \Leftrightarrow m\ne 0 \)

Khi đó:  \( {y}’=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=2 \\ \end{align} \right. \)

Tọa độ điểm cực trị:  \( A\left( 0;3m-3 \right) \),  \( B\left( 2;-m-3 \right) \)

Theo giả thiết:  \( 2A{{B}^{2}}-\left( O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}} \right)=20 \) \( \Leftrightarrow 22{{m}^{2}}+12m-34=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=1 \\  & m=-\frac{17}{11} \\ \end{align} \right. \).