Tìm tập S tất cả các giá trị thực của số m để tồn tại duy nhất cặp số (x;y) thỏa mãn logx^2+y^2+2(4x+4y−6+m^2)≥1 và x^2+y^2+2x−4y+1=0

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Nhận thấy  \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2>1 \) với mọi  \( x,y\in \mathbb{R} \) nên:

 \( {{\log }_{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2}}\left( 4x+4y-6+{{m}^{2}} \right)\ge 0 \) \( \Leftrightarrow 4x+4y-6+{{m}^{2}}\ge {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2 \)

 \( \Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-4y+8-{{m}^{2}}\le 0 \) \( \Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}\le {{m}^{2}} \) (*)

Khi m = 0 thì  \( (*)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x=2 \\  & y=2 \\ \end{align} \right. \). Cặp (2;2) không là nghiệm của phương trình  \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-4y+1=0 \).

Khi  \( m\ne 0 \), tập hợp các điểm  \( \left( x;y \right) \) thỏa mãn (*) là hình tròn tâm J(2;2), bán kính là  \( \left| m \right| \).

Trường hợp này, yêu cầu bài toán trở thành tìm m để điện trở tâm  \( I\left( -1;2 \right) \), bán kính 2 và hình tròn tâm J(2;2), bán kính  \( \left| m \right| \) có đúng một điểm chung (hình vẽ)

Điều này xảy ra khi \(\left[ \begin{align}  & \left| m \right|=1 \\  & \left| m \right|=5 \\ \end{align} \right.\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=\pm 1 \\  & m=\pm 5 \\ \end{align} \right.\) (thỏa mãn  \( m\ne 0 \)).

Vậy  \( S=\left\{ -5;-1;1;5 \right\} \)