Tìm tập S tất cả các giá trị thực của số m để tồn tại duy nhất cặp số (x;y) thỏa mãn logx^2+y^2+2(4x+4y−6+m^2)≥1 và x^2+y^2+2x−4y+1=0

Tìm tập S tất cả các giá trị thực của số m để tồn tại duy nhất cặp số (x;y) thỏa mãn \( {{\log }_{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2}}\left( 4x+4y-6+{{m}^{2}} \right)\ge 1 \) và  \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-4y+1=0 \).

A. \( S=\left\{ -5;-1;1;5 \right\}\)

B.  \( S=\left\{ -1;1 \right\} \)

C.  \( S=\left\{ -5;5 \right\} \)    

D.  \( S=\left\{ -7;-5;-1;1;5;7 \right\} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Nhận thấy  \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2>1 \) với mọi  \( x,y\in \mathbb{R} \) nên:

 \( {{\log }_{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2}}\left( 4x+4y-6+{{m}^{2}} \right)\ge 0 \) \( \Leftrightarrow 4x+4y-6+{{m}^{2}}\ge {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2 \)

 \( \Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-4y+8-{{m}^{2}}\le 0 \) \( \Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}\le {{m}^{2}} \) (*)

Khi m = 0 thì  \( (*)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x=2 \\  & y=2 \\ \end{align} \right. \). Cặp (2;2) không là nghiệm của phương trình  \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-4y+1=0 \).

Khi  \( m\ne 0 \), tập hợp các điểm  \( \left( x;y \right) \) thỏa mãn (*) là hình tròn tâm J(2;2), bán kính là  \( \left| m \right| \).

Trường hợp này, yêu cầu bài toán trở thành tìm m để điện trở tâm  \( I\left( -1;2 \right) \), bán kính 2 và hình tròn tâm J(2;2), bán kính  \( \left| m \right| \) có đúng một điểm chung (hình vẽ)

Điều này xảy ra khi \(\left[ \begin{align}  & \left| m \right|=1 \\  & \left| m \right|=5 \\ \end{align} \right.\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=\pm 1 \\  & m=\pm 5 \\ \end{align} \right.\) (thỏa mãn  \( m\ne 0 \)).

Vậy  \( S=\left\{ -5;-1;1;5 \right\} \)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *