Tìm số nghiệm của phương trình (|x|−1)2e|x|−1−log2=0

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Tập xác định:  \( D=\mathbb{R} \).

Đặt  \( t=\left| x \right|-1\ge -1 \), với  \( t\ge -1\Rightarrow \left| x \right|=t+1\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=t+1 \\  & x=-t-1 \\ \end{align} \right. \).

Khi đó phương trình trở thành  \( {{t}^{2}}{{e}^{t}}-\log 2=0\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \)

Số nghiệm của phương trình (1) là số điểm chung của đồ thị hàm số  \( y=f(t)={{t}^{2}}{{e}^{t}}-\log 2 \) và đường thẳng  \( y=0 \).

Ta có:  \( {f}'(t)={{e}^{t}}({{t}^{2}}+2t)\Rightarrow {f}'(t)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=0\,\,(n) \\  & t=-2\,\,(\ell ) \\ \end{align} \right. \).

Bảng biến thiên:

Ta có:  \( -\log 2<0<\frac{1}{e}-\log 2 \), dựa vào bảng biến thiên ta được phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt  \( {{t}_{1}},{{t}_{2}} \) thỏa mãn  \( -1<{{t}_{1}}<{{t}_{2}} \) hay phương trình đã cho có 4 nghiệm x phân biệt.