Tìm số giá trị nguyên của tham số m thuộc (-10;10) để phương trình (√10+1)^x^2+m.(√10-1)^x^2=2. 3^(x^2+1) có đúng hai nghiệm phân biệt

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

${{\left( \sqrt{10}+1 \right)}^{{{x}^{2}}}}+m.{{\left( \sqrt{10}-1 \right)}^{{{x}^{2}}}}={{2.3}^{{{x}^{2}}+1}}$ \( \Leftrightarrow {{\left( \frac{\sqrt{10}+1}{3} \right)}^{{{x}^{2}}}}+m.{{\left( \frac{\sqrt{10}-1}{3} \right)}^{{{x}^{2}}}}=6 \) (1)

Đặt \(t={{\left( \frac{\sqrt{10}+1}{3} \right)}^{{{x}^{2}}}},t>0\)\(\Rightarrow {{\left( \frac{\sqrt{10}-1}{3} \right)}^{{{x}^{2}}}}=\frac{1}{t}\)

(1)$\Leftrightarrow t+m.\frac{1}{t}=6\Leftrightarrow {{t}^{2}}-6t+m=0$ (2)

Để (1) có đúng hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có một nghiệm lớn hơn 1.

$(2)\Leftrightarrow m=-{{t}^{2}}+6t$

Xét hàm số $f(t)=-{{t}^{2}}+6t$ trên khoảng $\left( 1;+\infty  \right)$, ta có:

${f}'(t)=-2t+6;{f}'(t)=0\Leftrightarrow t=3$

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: $m<5$ hoặc m = 9 là giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do $m\in \left( -10;10 \right)$ \( \Rightarrow m\in \left\{ -9;-8;-7;-6;-5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;9 \right\} \)

Vậy có 15 giá trị m cần tìm.