Tìm số giá trị nguyên của tham số $m\in \left( -10;10 \right)$ để phương trình ${{\left( \sqrt{10}+1 \right)}^{{{x}^{2}}}}+m.{{\left( \sqrt{10}-1 \right)}^{{{x}^{2}}}}={{2.3}^{{{x}^{2}}+1}}$ có đúng hai nghiệm phân biệt?
A. 14
B. 15
C. 13
D. 16
Hướng dẫn giải:
Đáp án B.
${{\left( \sqrt{10}+1 \right)}^{{{x}^{2}}}}+m.{{\left( \sqrt{10}-1 \right)}^{{{x}^{2}}}}={{2.3}^{{{x}^{2}}+1}}$ \( \Leftrightarrow {{\left( \frac{\sqrt{10}+1}{3} \right)}^{{{x}^{2}}}}+m.{{\left( \frac{\sqrt{10}-1}{3} \right)}^{{{x}^{2}}}}=6 \) (1)
Đặt \(t={{\left( \frac{\sqrt{10}+1}{3} \right)}^{{{x}^{2}}}},t>0\)\(\Rightarrow {{\left( \frac{\sqrt{10}-1}{3} \right)}^{{{x}^{2}}}}=\frac{1}{t}\)
(1)$\Leftrightarrow t+m.\frac{1}{t}=6\Leftrightarrow {{t}^{2}}-6t+m=0$ (2)
Để (1) có đúng hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có một nghiệm lớn hơn 1.
$(2)\Leftrightarrow m=-{{t}^{2}}+6t$
Xét hàm số $f(t)=-{{t}^{2}}+6t$ trên khoảng $\left( 1;+\infty \right)$, ta có:
${f}'(t)=-2t+6;{f}'(t)=0\Leftrightarrow t=3$
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: $m<5$ hoặc m = 9 là giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Do $m\in \left( -10;10 \right)$ \( \Rightarrow m\in \left\{ -9;-8;-7;-6;-5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;9 \right\} \)
Vậy có 15 giá trị m cần tìm.
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!