Tìm số giá trị nguyên của tham số m thuộc (-10;10) để phương trình (√10+1)^x^2+m.(√10-1)^x^2=2. 3^(x^2+1) có đúng hai nghiệm phân biệt

Tìm số giá trị nguyên của tham số $m\in \left( -10;10 \right)$ để phương trình ${{\left( \sqrt{10}+1 \right)}^{{{x}^{2}}}}+m.{{\left( \sqrt{10}-1 \right)}^{{{x}^{2}}}}={{2.3}^{{{x}^{2}}+1}}$ có đúng hai nghiệm phân biệt?

A. 14

B. 15

C. 13                                

D. 16

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

${{\left( \sqrt{10}+1 \right)}^{{{x}^{2}}}}+m.{{\left( \sqrt{10}-1 \right)}^{{{x}^{2}}}}={{2.3}^{{{x}^{2}}+1}}$ \( \Leftrightarrow {{\left( \frac{\sqrt{10}+1}{3} \right)}^{{{x}^{2}}}}+m.{{\left( \frac{\sqrt{10}-1}{3} \right)}^{{{x}^{2}}}}=6 \) (1)

Đặt \(t={{\left( \frac{\sqrt{10}+1}{3} \right)}^{{{x}^{2}}}},t>0\)\(\Rightarrow {{\left( \frac{\sqrt{10}-1}{3} \right)}^{{{x}^{2}}}}=\frac{1}{t}\)

(1)$\Leftrightarrow t+m.\frac{1}{t}=6\Leftrightarrow {{t}^{2}}-6t+m=0$ (2)

Để (1) có đúng hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có một nghiệm lớn hơn 1.

$(2)\Leftrightarrow m=-{{t}^{2}}+6t$

Xét hàm số $f(t)=-{{t}^{2}}+6t$ trên khoảng $\left( 1;+\infty  \right)$, ta có:

${f}'(t)=-2t+6;{f}'(t)=0\Leftrightarrow t=3$

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: $m<5$ hoặc m = 9 là giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do $m\in \left( -10;10 \right)$ \( \Rightarrow m\in \left\{ -9;-8;-7;-6;-5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;9 \right\} \)

Vậy có 15 giá trị m cần tìm.

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *