Tìm m để phương trình: (m−1)log21/2(x−2)^2+4(m−5)log1/21/(x−2)+4m−4=0 có nghiệm trên [5/2;4]

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Điều kiện: x > 2.

Phương trình đã cho

 \( \Leftrightarrow \left( m-1 \right){{\left[ {{\log }_{\frac{1}{2}}}{{\left( x-2 \right)}^{2}} \right]}^{2}}+4\left( m-5 \right){{\log }_{2}}\left( x-2 \right)+4m-4=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left( m-1 \right){{\left[ -2{{\log }_{2}}\left( x-2 \right) \right]}^{2}}+4\left( m-5 \right){{\log }_{2}}\left( x-2 \right)+4m-4=0 \)

 \( \Leftrightarrow 4\left( m-1 \right)\log _{2}^{2}\left( x-2 \right)+4\left( m-5 \right){{\log }_{2}}\left( x-2 \right)+4m-4=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left( m-1 \right)\log _{2}^{2}\left( x-2 \right)+\left( m-5 \right){{\log }_{2}}\left( x-2 \right)+m-1=0 \)

Đặt  \( t={{\log }_{2}}\left( x-2 \right) \). Vì  \( x\in \left[ \frac{5}{2};4 \right]\Rightarrow t\in \left[ -1;1 \right] \).

Phương trình (1) trở thành  \( \left( m-1 \right){{t}^{2}}+\left( m-5 \right)t+m-1=0 \),  \( t\in \left[ -1;1 \right] \) (2)

\(\Leftrightarrow m=\frac{{{t}^{2}}+5t+1}{{{t}^{2}}+t+1}=f(t),t\in \left[ -1;1 \right]\)

Ta có: \({f}'(t)=\frac{-4{{t}^{2}}+4}{{{\left( {{t}^{2}}+t+1 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=2 \\ & t=-2 \\ \end{align} \right.\)

Bảng biến thiên:

Phương trình đã cho có nghiệm \(x\in \left[ \frac{5}{2};4 \right]\) khi phương trình (2) có nghiệm \(t\in \left[ -1;1 \right]\).

Từ bảng biến thiên suy ra \(-3\le m\le \frac{7}{3}\).