Tìm m để phương trình: (m−1)log21/2(x−2)^2+4(m−5)log1/21/(x−2)+4m−4=0 có nghiệm trên [5/2;4]

Tìm m để phương trình: \( \left( m-1 \right)\log _{\frac{1}{2}}^{2}{{\left( x-2 \right)}^{2}}+4\left( m-5 \right){{\log }_{\frac{1}{2}}}\frac{1}{x-2}+4m-4=0 \) có nghiệm trên  \( \left[ \frac{5}{2};4 \right] \).

A. \( m\in \mathbb{R} \)

B.  \( -3\le m\le \frac{7}{3} \)             

C.  \( m\in \emptyset  \)                             

D.  \( -3<m\le \frac{7}{3} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Điều kiện: x > 2.

Phương trình đã cho

 \( \Leftrightarrow \left( m-1 \right){{\left[ {{\log }_{\frac{1}{2}}}{{\left( x-2 \right)}^{2}} \right]}^{2}}+4\left( m-5 \right){{\log }_{2}}\left( x-2 \right)+4m-4=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left( m-1 \right){{\left[ -2{{\log }_{2}}\left( x-2 \right) \right]}^{2}}+4\left( m-5 \right){{\log }_{2}}\left( x-2 \right)+4m-4=0 \)

 \( \Leftrightarrow 4\left( m-1 \right)\log _{2}^{2}\left( x-2 \right)+4\left( m-5 \right){{\log }_{2}}\left( x-2 \right)+4m-4=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left( m-1 \right)\log _{2}^{2}\left( x-2 \right)+\left( m-5 \right){{\log }_{2}}\left( x-2 \right)+m-1=0 \)

Đặt  \( t={{\log }_{2}}\left( x-2 \right) \). Vì  \( x\in \left[ \frac{5}{2};4 \right]\Rightarrow t\in \left[ -1;1 \right] \).

Phương trình (1) trở thành  \( \left( m-1 \right){{t}^{2}}+\left( m-5 \right)t+m-1=0 \),  \( t\in \left[ -1;1 \right] \) (2)

\(\Leftrightarrow m=\frac{{{t}^{2}}+5t+1}{{{t}^{2}}+t+1}=f(t),t\in \left[ -1;1 \right]\)

Ta có: \({f}'(t)=\frac{-4{{t}^{2}}+4}{{{\left( {{t}^{2}}+t+1 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=2 \\ & t=-2 \\ \end{align} \right.\)

Bảng biến thiên:

Phương trình đã cho có nghiệm \(x\in \left[ \frac{5}{2};4 \right]\) khi phương trình (2) có nghiệm \(t\in \left[ -1;1 \right]\).

Từ bảng biến thiên suy ra \(-3\le m\le \frac{7}{3}\).

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *