Tìm m để bất phương trình: 2^x+3^x+4^x+5^x≥4+mx có tập nghiệm là R

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Với a > 1, ta có: \( \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{{{a}^{x}}-1}{x}=\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{{{e}^{x\ln a}}-1}{x\ln a}.\ln a=\ln a  \)

Với a > 1, xét hàm số  \( f(x)=\frac{{{a}^{x}}-1}{x} \)  \( \left( x\ne 0 \right) \), ta có:  \( {f}'(x)=\frac{x{{a}^{x}}\ln a-{{a}^{x}}+1}{{{x}^{2}}} \).

Xét hàm số  \( g(x)=x{{a}^{x}}\ln a-{{a}^{x}}+1 \) \( \Rightarrow {g}'(x)={{a}^{x}}\ln a+x{{a}^{x}}{{\ln }^{2}}a-{{a}^{x}}\ln a=x{{a}^{x}}{{\ln }^{2}}a \)

Với x > 0, ta có:  \( {g}'(x)>0\Rightarrow g(x)>g(0)\Leftrightarrow g(x)>0 \) \( \Rightarrow {f}'(x)>0,\forall x>0 \)

Với x < 0, ta có:  \( {g}'(x)<0\Rightarrow g(x)>g(0)\Leftrightarrow g(x)>0 \) \( \Rightarrow {f}'(x)>0,\forall x>0 \)

Do đó, hàm số  \( f(x)=\frac{{{a}^{x}}-1}{x} \) (a > 1) đồng biến trên các khoảng  \( \left( -\infty ;0 \right) \) và  \( \left( 0;+\infty  \right) \).

Trở lại bài toán:

+ Xét x = 0, bất phương trình thỏa mãn.

+ Xét x > 0, ta có:  \( {{2}^{x}}+{{3}^{x}}+{{4}^{x}}+{{5}^{x}}\ge 4+mx  \) \( \Leftrightarrow m\le \frac{{{2}^{x}}-1}{x}+\frac{{{3}^{x}}-1}{x}+\frac{{{4}^{x}}-1}{x}+\frac{{{5}^{x}}-1}{x}=h(x) \)

Từ nhận xét trên ta có h(x) đồng biến trên  \( \left( 0;+\infty  \right) \).

Do đó, yêu cầu bài toán  \( \Leftrightarrow m\le \displaystyle \lim_{x\to 0^+}h(x)=\ln 2+\ln 3+\ln 4+\ln 5=\ln 120 \)

+ Xét x < 0, ta có:  \( {{2}^{x}}+{{3}^{x}}+{{4}^{x}}+{{5}^{x}}\ge 4+mx  \) \( \Leftrightarrow m\ge \frac{{{2}^{x}}-1}{x}+\frac{{{3}^{x}}-1}{x}+\frac{{{4}^{x}}-1}{x}+\frac{{{5}^{x}}-1}{x}=h(x) \)

Từ nhận xét trên ta có h(x) đồng biến trên  \( \left( -\infty ;0 \right) \).

Do đó, yêu cầu bài toán\( \Leftrightarrow m\ge \displaystyle \lim_{x\to 0^+}h(x)=\ln 2+\ln 3+\ln 4+\ln 5=\ln 120 \)

Kết hợp lại ta có: m = ln120.