Tìm m để bất phương trình: 2^x+3^x+4^x+5^x≥4+mx có tập nghiệm là R

Tìm m để bất phương trình: \( {{2}^{x}}+{{3}^{x}}+{{4}^{x}}+{{5}^{x}}\ge 4+mx  \) có tập nghiệm là  \( \mathbb{R} \).

A. ln120

B. ln10                             

C. ln30                             

D. ln14

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Với a > 1, ta có: \( \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{{{a}^{x}}-1}{x}=\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{{{e}^{x\ln a}}-1}{x\ln a}.\ln a=\ln a  \)

Với a > 1, xét hàm số  \( f(x)=\frac{{{a}^{x}}-1}{x} \)  \( \left( x\ne 0 \right) \), ta có:  \( {f}'(x)=\frac{x{{a}^{x}}\ln a-{{a}^{x}}+1}{{{x}^{2}}} \).

Xét hàm số  \( g(x)=x{{a}^{x}}\ln a-{{a}^{x}}+1 \) \( \Rightarrow {g}'(x)={{a}^{x}}\ln a+x{{a}^{x}}{{\ln }^{2}}a-{{a}^{x}}\ln a=x{{a}^{x}}{{\ln }^{2}}a \)

Với x > 0, ta có:  \( {g}'(x)>0\Rightarrow g(x)>g(0)\Leftrightarrow g(x)>0 \) \( \Rightarrow {f}'(x)>0,\forall x>0 \)

Với x < 0, ta có:  \( {g}'(x)<0\Rightarrow g(x)>g(0)\Leftrightarrow g(x)>0 \) \( \Rightarrow {f}'(x)>0,\forall x>0 \)

Do đó, hàm số  \( f(x)=\frac{{{a}^{x}}-1}{x} \) (a > 1) đồng biến trên các khoảng  \( \left( -\infty ;0 \right) \) và  \( \left( 0;+\infty  \right) \).

Trở lại bài toán:

+ Xét x = 0, bất phương trình thỏa mãn.

+ Xét x > 0, ta có:  \( {{2}^{x}}+{{3}^{x}}+{{4}^{x}}+{{5}^{x}}\ge 4+mx  \) \( \Leftrightarrow m\le \frac{{{2}^{x}}-1}{x}+\frac{{{3}^{x}}-1}{x}+\frac{{{4}^{x}}-1}{x}+\frac{{{5}^{x}}-1}{x}=h(x) \)

Từ nhận xét trên ta có h(x) đồng biến trên  \( \left( 0;+\infty  \right) \).

Do đó, yêu cầu bài toán  \( \Leftrightarrow m\le \displaystyle \lim_{x\to 0^+}h(x)=\ln 2+\ln 3+\ln 4+\ln 5=\ln 120 \)

+ Xét x < 0, ta có:  \( {{2}^{x}}+{{3}^{x}}+{{4}^{x}}+{{5}^{x}}\ge 4+mx  \) \( \Leftrightarrow m\ge \frac{{{2}^{x}}-1}{x}+\frac{{{3}^{x}}-1}{x}+\frac{{{4}^{x}}-1}{x}+\frac{{{5}^{x}}-1}{x}=h(x) \)

Từ nhận xét trên ta có h(x) đồng biến trên  \( \left( -\infty ;0 \right) \).

Do đó, yêu cầu bài toán\( \Leftrightarrow m\ge \displaystyle \lim_{x\to 0^+}h(x)=\ln 2+\ln 3+\ln 4+\ln 5=\ln 120 \)

Kết hợp lại ta có: m = ln120.

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *