Tìm m để bất phương trình: \( {{2}^{x}}+{{3}^{x}}+{{4}^{x}}+{{5}^{x}}\ge 4+mx \) có tập nghiệm là \( \mathbb{R} \).
A. ln120
B. ln10
C. ln30
D. ln14
Hướng dẫn giải:
Đáp án A.
Với a > 1, ta có: \( \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{{{a}^{x}}-1}{x}=\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{{{e}^{x\ln a}}-1}{x\ln a}.\ln a=\ln a \)
Với a > 1, xét hàm số \( f(x)=\frac{{{a}^{x}}-1}{x} \) \( \left( x\ne 0 \right) \), ta có: \( {f}'(x)=\frac{x{{a}^{x}}\ln a-{{a}^{x}}+1}{{{x}^{2}}} \).
Xét hàm số \( g(x)=x{{a}^{x}}\ln a-{{a}^{x}}+1 \) \( \Rightarrow {g}'(x)={{a}^{x}}\ln a+x{{a}^{x}}{{\ln }^{2}}a-{{a}^{x}}\ln a=x{{a}^{x}}{{\ln }^{2}}a \)
Với x > 0, ta có: \( {g}'(x)>0\Rightarrow g(x)>g(0)\Leftrightarrow g(x)>0 \) \( \Rightarrow {f}'(x)>0,\forall x>0 \)
Với x < 0, ta có: \( {g}'(x)<0\Rightarrow g(x)>g(0)\Leftrightarrow g(x)>0 \) \( \Rightarrow {f}'(x)>0,\forall x>0 \)
Do đó, hàm số \( f(x)=\frac{{{a}^{x}}-1}{x} \) (a > 1) đồng biến trên các khoảng \( \left( -\infty ;0 \right) \) và \( \left( 0;+\infty \right) \).
Trở lại bài toán:
+ Xét x = 0, bất phương trình thỏa mãn.
+ Xét x > 0, ta có: \( {{2}^{x}}+{{3}^{x}}+{{4}^{x}}+{{5}^{x}}\ge 4+mx \) \( \Leftrightarrow m\le \frac{{{2}^{x}}-1}{x}+\frac{{{3}^{x}}-1}{x}+\frac{{{4}^{x}}-1}{x}+\frac{{{5}^{x}}-1}{x}=h(x) \)
Từ nhận xét trên ta có h(x) đồng biến trên \( \left( 0;+\infty \right) \).
Do đó, yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow m\le \displaystyle \lim_{x\to 0^+}h(x)=\ln 2+\ln 3+\ln 4+\ln 5=\ln 120 \)
+ Xét x < 0, ta có: \( {{2}^{x}}+{{3}^{x}}+{{4}^{x}}+{{5}^{x}}\ge 4+mx \) \( \Leftrightarrow m\ge \frac{{{2}^{x}}-1}{x}+\frac{{{3}^{x}}-1}{x}+\frac{{{4}^{x}}-1}{x}+\frac{{{5}^{x}}-1}{x}=h(x) \)
Từ nhận xét trên ta có h(x) đồng biến trên \( \left( -\infty ;0 \right) \).
Do đó, yêu cầu bài toán\( \Leftrightarrow m\ge \displaystyle \lim_{x\to 0^+}h(x)=\ln 2+\ln 3+\ln 4+\ln 5=\ln 120 \)
Kết hợp lại ta có: m = ln120.
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!