Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số y=x^3+4(m−2)x^2−7x+1 có hai điểm cực trị x1,x2(x1<x2) thỏa mãn |x1|−|x2|=−4

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Ta có: \(y={{x}^{3}}+4\left( m-2 \right){{x}^{2}}-7x+1\)  (1)

 \( \Rightarrow {y}’=3{{x}^{2}}+8\left( m-2 \right)x-7 \)

Xét phương trình  \( 3{{x}^{2}}+8\left( m-2 \right)x-7=0 \)  (2)

 \( {\Delta }’={{\left[ 4\left( m-2 \right) \right]}^{2}}+21>0 \), với m

 \( \Rightarrow  \) Hàm số (1) luôn có hai điểm cực trị x₁, x₂ với mọi m.

Ta thấy  \( ac=-21<0 \) \( \Rightarrow \)  Phương trình (2) có 2 nghiệm trái dấu

\(\Rightarrow {{x}_{1}}<0;{{x}_{2}}>0\Rightarrow \left| {{x}_{1}} \right|=-{{x}_{1}};\left| {{x}_{2}} \right|={{x}_{2}}\)

Ta có:  \( \left| {{x}_{1}} \right|-\left| {{x}_{2}} \right|=-4\Rightarrow -{{x}_{1}}-{{x}_{2}}=-4 \) \( \Leftrightarrow -\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=-4\Leftrightarrow \frac{8(m-2)}{3}=-4\Leftrightarrow m=\frac{1}{2} \)