Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=(x+y)/(x−y)^2+(y+z)/(y−z)^2+(z+x)/(z−x)2−6/√(x+y+z)

Hướng dẫn giải:

Không mất tính tổng quát giả sử  \( z=\min \{x,y,z\} \), đặt  \( x=a+z,y=b+z\text{ }(a,b>0) \), ta có:

 \( \frac{x+y}{{{(x-y)}^{2}}}+\frac{y+z}{{{(y-z)}^{2}}}+\frac{z+x}{{{(z-x)}^{2}}}=\frac{a+b+2z}{{{(a-b)}^{2}}}+\frac{a+2z}{{{a}^{2}}}+\frac{b+2z}{{{b}^{2}}} \)

 \( \ge \frac{a+b}{{{(a-b)}^{2}}}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=(a+b)\left[ \frac{1}{ab}+\frac{1}{{{(a-b)}^{2}}} \right]=\frac{1}{a+b}.\frac{{{(a+b)}^{2}}({{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}})}{ab{{(a-b)}^{2}}} \)   (1)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  \( z=0 \).

Ta có:  \( \frac{{{(a+b)}^{2}}({{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}})}{ab{{(a-b)}^{2}}}\ge 9\Leftrightarrow {{({{a}^{2}}-4ab+{{b}^{2}})}^{2}}\ge 0 \)     (2)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  \( {{a}^{2}}-4ab+{{b}^{2}}=0\Leftrightarrow a=\left( 2\pm \sqrt{3} \right)b  \).

Vì vậy,  \( P\ge \frac{9}{a+b}-\frac{6}{\sqrt{x+y+z}}=\frac{9}{x+y-2z}-\frac{6}{\sqrt{x+y+z}} \)

 \( \ge \frac{9}{x+y+z}-\frac{6}{\sqrt{x+y+z}}={{\left( \frac{3}{\sqrt{x+y+z}}-1 \right)}^{2}}-1\ge -1 \).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  \( \frac{3}{\sqrt{x+y+z}}=1\Leftrightarrow x+y+z=9 \).

Tổng hợp tất cả các giá dấu bằng ta có:

 \( \left\{ \begin{align} & x=a+z,y=b+z \\  & z=0 \\  & a=\left( 2\pm \sqrt{3} \right)b \\ & x+y+z=9 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=\frac{9+3\sqrt{3}}{2},y=\frac{9-3\sqrt{3}}{2},z=0 \\  & x=\frac{9-3\sqrt{3}}{2},y=\frac{9+3\sqrt{3}}{2},z=0 \\ \end{align} \right. \).

Vậy  \( {{P}_{\min }}=-1 \).