Cho x, y, z là các số thực không âm và đôi một phân biệt. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\( P=\frac{x+y}{{{(x-y)}^{2}}}+\frac{y+z}{{{(y-z)}^{2}}}+\frac{z+x}{{{(z-x)}^{2}}}-\frac{6}{\sqrt{x+y+z}} \).
Hướng dẫn giải:
Không mất tính tổng quát giả sử \( z=\min \{x,y,z\} \), đặt \( x=a+z,y=b+z\text{ }(a,b>0) \), ta có:
\( \frac{x+y}{{{(x-y)}^{2}}}+\frac{y+z}{{{(y-z)}^{2}}}+\frac{z+x}{{{(z-x)}^{2}}}=\frac{a+b+2z}{{{(a-b)}^{2}}}+\frac{a+2z}{{{a}^{2}}}+\frac{b+2z}{{{b}^{2}}} \)
\( \ge \frac{a+b}{{{(a-b)}^{2}}}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=(a+b)\left[ \frac{1}{ab}+\frac{1}{{{(a-b)}^{2}}} \right]=\frac{1}{a+b}.\frac{{{(a+b)}^{2}}({{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}})}{ab{{(a-b)}^{2}}} \) (1)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \( z=0 \).
Ta có: \( \frac{{{(a+b)}^{2}}({{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}})}{ab{{(a-b)}^{2}}}\ge 9\Leftrightarrow {{({{a}^{2}}-4ab+{{b}^{2}})}^{2}}\ge 0 \) (2)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \( {{a}^{2}}-4ab+{{b}^{2}}=0\Leftrightarrow a=\left( 2\pm \sqrt{3} \right)b \).
Vì vậy, \( P\ge \frac{9}{a+b}-\frac{6}{\sqrt{x+y+z}}=\frac{9}{x+y-2z}-\frac{6}{\sqrt{x+y+z}} \)
\( \ge \frac{9}{x+y+z}-\frac{6}{\sqrt{x+y+z}}={{\left( \frac{3}{\sqrt{x+y+z}}-1 \right)}^{2}}-1\ge -1 \).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \( \frac{3}{\sqrt{x+y+z}}=1\Leftrightarrow x+y+z=9 \).
Tổng hợp tất cả các giá dấu bằng ta có:
\( \left\{ \begin{align} & x=a+z,y=b+z \\ & z=0 \\ & a=\left( 2\pm \sqrt{3} \right)b \\ & x+y+z=9 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{9+3\sqrt{3}}{2},y=\frac{9-3\sqrt{3}}{2},z=0 \\ & x=\frac{9-3\sqrt{3}}{2},y=\frac{9+3\sqrt{3}}{2},z=0 \\ \end{align} \right. \).
Vậy \( {{P}_{\min }}=-1 \).
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!