Tìm các nghiệm trên (0;2π) của phương trình: 5(sinx+cos3x+sin3x1+2sin2x)=3+cos2x

Hướng dẫn giải:

Điều kiện:  \( \sin 2x\ne -\frac{1}{2} \)

Ta có:  \( \sin 3x+\cos 3x=(3\sin x-4{{\sin }^{3}}x)+(4{{\cos }^{3}}x-3\cos x) \)

 \( =-3(\cos x-\sin x)+4({{\cos }^{3}}x-si{{n}^{3}}x)=(\cos x-\sin x)\left[ -3+4({{\cos }^{2}}x+cosxsinx+si{{n}^{2}}x) \right] \)

 \( =(\cos x-\sin x)(1+2\sin 2x) \)

Lúc đó: (*) \( \Leftrightarrow 5[\sin x+(\cos x-\sin x)]=3+(2{{\cos }^{2}}x-1)\text{ }\left( do\text{ }\sin 2x\ne -\frac{1}{2} \right) \)

 \( \Leftrightarrow 2{{\cos }^{2}}x-5\cos x+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos x=\frac{1}{2}\text{ }(n) \\  & \cos x=2\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \)  (nhận do  \( \sin 2x=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\ne -\frac{1}{2} \))

Do  \( x\in (0;2\pi ) \) nên  \( x=\frac{\pi }{3}\vee x=\frac{5\pi }{3} \).