Tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y=|f(x)+m| có ba điểm cực trị

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.              

Cách 1:

Do  \( y=f(x)+m  \) là hàm số bậc ba.

Khi đó, hàm số  \( y=\left| f(x)+m \right| \) có ba điểm cực trị

 \( \Leftrightarrow y=f(x)+m  \) có  \( {{y}_{CD}}.{{y}_{CT}}\ge 0 \)

\( \Leftrightarrow \left( 1+m \right)\left( -3+m \right)\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m\le -1 \\ & m\ge 3 \\ \end{align} \right. \)

Cách 2:

Ta có:  \( y=\left| f(x)+m \right|=\sqrt{{{\left( f(x)+m \right)}^{2}}} \)  \( \Rightarrow {y}’=\frac{\left( f(x)+m \right).{f}'(x)}{\sqrt{{{\left( f(x)+m \right)}^{2}}}} \)

Để tìm cực trị của hàm số  \( y=\left| f(x)+m \right| \), ta tìm x thỏa mãn  \( {y}’=0 \) hoặc  \( {y}’ \) không xác định.

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& {f}'(x)=0\begin{matrix}   {} & {}  \\\end{matrix}(1) \\ & f(x)=-m\begin{matrix} {} & {}  \\\end{matrix}(2) \\ \end{align} \right. \)

Dựa vào đồ thị, suy ra hàm số có 2 điểm cực trị x1, x2 trái dấu.

Suy ra (1) có hai nghiệm x1, x2 trái dấu.

Vậy để đồ thị hàm số có 3 cực trị thì (2) có một nghiệm khác x1, x2.

Số nghiệm của (2) chính là số giao điểm của đồ thị (C) và đồ thị  \( y=-m  \).

Do đó để (2) có một nghiệm thì dựa vào đồ thị ta có điều kiện: \( \left[ \begin{align}& -m\ge 1 \\ & -m\le -3 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m\le -1 \\ & m\ge 3 \\ \end{align} \right. \)

Chú ý:

Nếu x = xO là cực trị của hàm số y = f(x) thì f’(xO) = 0 hoặc không tồn tài f’(xO).