Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số g(x)=f(2x^2−4|x|+m−3) có 7 điểm cực trị

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Ta có:  \( {g}'(x)={{\left( 2{{x}^{2}}-4\left| x \right|+m-3 \right)}^{\prime }}.{f}’\left( 2{{x}^{2}}-4\left| x \right|+m-3 \right) \).

Suy ra  \( {g}'(x)=0\Leftrightarrow {{\left( 2{{x}^{2}}-4\left| x \right|+m-3 \right)}^{\prime }}.{f}’\left( 2{{x}^{2}}-4\left| x \right|+m-3 \right)=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{\left( 2{{x}^{2}}-4\left| x \right|+m-3 \right)}^{\prime }}=0 \\  & {f}’\left( 2{{x}^{2}}-4\left| x \right|+m-3 \right)=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{\left( 2{{x}^{2}}-4\left| x \right|+m-3 \right)}^{\prime }}=0 \\  & 2{{x}^{2}}-4\left| x \right|+m-3=-1 \\  & 2{{x}^{2}}-4\left| x \right|+m-3=2 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{\left( 2{{x}^{2}}-4\left| x \right|+m-3 \right)}^{\prime }}=0\begin{matrix}  {} & (1)  \\\end{matrix} \\  & 2{{x}^{2}}-4\left| x \right|-3=-m-1\begin{matrix}  {} & (2)  \\\end{matrix} \\  & 2{{x}^{2}}-4\left| x \right|-3=-m+2\begin{matrix}   {} & (3)  \\\end{matrix} \\ \end{align} \right. \).

+ Xét phương trình  \( {{\left( 2{{x}^{2}}-4\left| x \right|+m-3 \right)}^{\prime }}=0 \)   (1)

Với  \( x\ge 0\Rightarrow (1)\Leftrightarrow 4x-4=0\Leftrightarrow x=1 \) (thỏa mãn).

Với  \( x<0\Rightarrow (1)\Leftrightarrow 4x+4=0\Leftrightarrow x=-1 \) (thỏa mãn).

Khi đó  \( x=-1;x=0;x=1 \) là 3 điểm cực trị của hàm số.

+ Xét phương trình  \( 2{{x}^{2}}-4\left| x \right|-3=-m-1 \)  (2)

Từ đồ thị suy ra phương trình (2) nếu có nghiệm thì nghiệm là bội chẵn nên hàm số  \( {g}'(x) \)  không đổi dấu nên không phải là cực trị.

+ Xét phương trình  \( 2{{x}^{2}}-4\left| x \right|-3=-m+2 \).

Yêu cầu bài toán suy ra phương trình (3) có 4 nghiệm phân biệt khác  \( 0;\pm 1 \).

Xét hàm số  \( y=2{{x}^{2}}-4\left| x \right|-3 \) có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra:  \( -5<-m+2<-3\Leftrightarrow 5<m<7 \).

Vì  \( m\in \mathbb{Z} \) nên  \( m=6 \). Vậy có 1 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn.