Số điểm cực tiểu của hàm số g(x)=4f(x^2−4)+x^4−8x^2 là

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Có  \( {g}'(x)=8x{f}'({{x}^{2}}-4)+4{{x}^{3}}-16x=8x\left( {f}'({{x}^{2}}-4)+\frac{{{x}^{2}}-4}{2} \right) \).

Xét  \( {f}'(x)+\frac{x}{2}=0\Leftrightarrow {f}'(x)=-\frac{x}{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=-2 \\  & x=0 \\  & x=4 \\ \end{align} \right. \).

Suy ra  \( {f}'(x)+\frac{x}{2} \) là đa thức bậc ba có 3 nghiệm là  \( x=-2;x=0;x=4 \) nên  \( {f}'(x)+\frac{x}{2}=a(x+2)x(x-4) \),  \( \left( a>0,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty  \right) \).

Do đó  \( {g}'(x)=8ax({{x}^{2}}-4+2)({{x}^{2}}-4)({{x}^{2}}-4-4)=8ax({{x}^{2}}-2)({{x}^{2}}-4)({{x}^{2}}-8) \) đổi dấu tử âm sang dương khi các điểm  \( x=-2\sqrt{2};x=-\sqrt{2};x=\sqrt{2};x=2\sqrt{2} \) nên g(x) có 4 điểm cực tiểu.