Số các giá trị nguyên của tham số m để phương trình (m+1).16^x-2(2m-3).4^x+6m+5=0 có hai nghiệm trái dấu

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Đặt $t={{4}^{x}},t>0$, phương trình đã cho trở thành: $(m+1){{t}^{2}}-2(2m-3)t+6m+5=0$

Cách 1:

$\Leftrightarrow m=-\frac{{{t}^{2}}+6t+5}{{{t}^{2}}-4t+6}$ (*)

Phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 trái dấu khi phương trình (*) có hai nghiệm t1, t2 thỏa mãn: $0<{{t}_{1}}<1<{{t}_{2}}$.

Đặt $f(t)=-\frac{{{t}^{2}}+6t+5}{{{t}^{2}}-4t+6}$ $\Rightarrow {f}'(t)=\frac{10{{t}^{2}}-2t-56}{{{\left( {{t}^{2}}-4t+6 \right)}^{2}}}$

${f}'(t)=0\Leftrightarrow x=\frac{1\pm \sqrt{561}}{10}$

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có phương trình (*) có hai nghiệm t1, t2 thỏa mãn $0<{{t}_{1}}<1<{{t}_{2}}$ khi $-4<m<-1$

Cách 2:

Đặt $f(x)=(m+1){{t}^{2}}-2(2m-3)t+6m+5$

Phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 trái dấu khi phương trình (*) có hai nghiệm t1, t2 thỏa mãn $0<{{t}_{1}}<1<{{t}_{2}}$.

Điều đó xảy ra khi: $\left\{ \begin{align}& (m+1)f(1)<0 \\ & (m+1)f(0)>0 \\\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& (m+1)(3m+12)<0 \\& (m+1)(6m+5)>0 \\\end{align} \right.$

 \( \Leftrightarrow \begin{cases} -4< m <-1 \\\left[\begin{array}{l} m<-1 \\ m>-\frac{5}{6} \end{array}\right.\end{cases} \)$\Leftrightarrow -4<m<-1$

Vậy có hai giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn bài toán là $m=-3$ và $m=-2$.