Phương trình x^3−6mx+5=5m^2 có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Phương trình đã cho tương đương:  \( {{x}^{3}}-6mx+5-5{{m}^{2}}=0 \)

Đặt  \( y=f(x)={{x}^{3}}-6mx+5-5{{m}^{2}} \) có  \( {f}'(x)=3{{x}^{2}}-6m; {f}”(x)=6x  \).

Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt \Leftrightarrow Hàm số y=f(x) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

 \( \Leftrightarrow {f}'(x)=0 \) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn  \( f({{x}_{1}}).f({{x}_{2}})<0 \).

3 nghiệm đó lập thành cấp số cộng nên  \( {{x}_{2}}-{{x}_{1}}={{x}_{3}}-{{x}_{2}} \)

Suy ra, x2 là hoành độ của tâm đối xứng hay là nghiệm của  \( {f}”(x)=0 \)

Cho  \( {f}”(x)=0\Leftrightarrow 6x=0\Leftrightarrow x=0 \)

Với x = 0, ta có:  \( 5-5{{m}^{2}}=0\Leftrightarrow m=\pm 1 \).

Thử lại:

+ Với m =1 thì ta có:  \( {{x}^{3}}-6x+5=5\Leftrightarrow x\left( {{x}^{2}}-6 \right)=0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=\pm \sqrt{6} \\ \end{align} \right. \)

Do đó, m = 1 thỏa mãn.

+ Với  \( m=-1 \) thì ta có:  \( {{x}^{3}}+6x+5=5\Leftrightarrow x\left( {{x}^{2}}+6 \right)=0 \) \( \Leftrightarrow x=0 \)

Do đó,  \( m=-1 \) không thỏa mãn.