Phương trình e^x−e^√2x+1=1−x^2+2√2x+1 có nghiệm trong khoảng nào

Phương trình \( {{e}^{x}}-{{e}^{\sqrt{2x+1}}}=1-{{x}^{2}}+2\sqrt{2x+1} \) có nghiệm trong khoảng nào?

A. \( \left( 2;\frac{5}{2} \right) \).

B.  \( \left( \frac{3}{2};2 \right) \).             

C.  \( \left( 1;\frac{3}{2} \right) \).              

D.  \( \left( \frac{1}{2};1 \right) \).

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Điều kiện:  \( x\ge -\frac{1}{2} \).

 \( {{e}^{x}}-{{e}^{\sqrt{2x+1}}}=1-{{x}^{2}}+2\sqrt{2x+1}\Leftrightarrow {{e}^{x}}-{{e}^{\sqrt{2x+1}}}=-{{(x+1)}^{2}}+{{\left( \sqrt{2x+1}+1 \right)}^{2}} \)

 \( \Leftrightarrow {{e}^{x}}+{{(x+1)}^{2}}={{e}^{\sqrt{2x+1}}}+{{\left( \sqrt{2x+1}+1 \right)}^{2}}\,\,\,\,\,\,\,\,(*) \)

Xét hàm số  \( f(t)={{e}^{t}}+{{(t+1)}^{2}} \) với  \( t\ge -\frac{1}{2} \).

 \( {f}'(t)={{e}^{t}}+2(t+1)>0 \) với mọi  \( t\ge -\frac{1}{2} \).

Suy ra hàm số đồng biến trên  \( \left[ -\frac{1}{2};+\infty  \right) \).

 \( (*)\Leftrightarrow f(x)=f\left( \sqrt{2x+1} \right)\Leftrightarrow x=\sqrt{2x+1}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x\ge 0 \\  & {{x}^{2}}=2x+1 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x\ge 0 \\  & {{x}^{2}}-2x-1=0 \\ \end{align} \right. \) \( \begin{cases} x\ge 0 \\\left[\begin{array}{l} x=1-\sqrt{2} \\ x=1+\sqrt{2}\end{array}\right.\end{cases} \Leftrightarrow x=1+\sqrt{2}\).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *