Phương trình \( {{e}^{x}}-{{e}^{\sqrt{2x+1}}}=1-{{x}^{2}}+2\sqrt{2x+1} \) có nghiệm trong khoảng nào?
A. \( \left( 2;\frac{5}{2} \right) \).
B. \( \left( \frac{3}{2};2 \right) \).
C. \( \left( 1;\frac{3}{2} \right) \).
D. \( \left( \frac{1}{2};1 \right) \).
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Điều kiện: \( x\ge -\frac{1}{2} \).
\( {{e}^{x}}-{{e}^{\sqrt{2x+1}}}=1-{{x}^{2}}+2\sqrt{2x+1}\Leftrightarrow {{e}^{x}}-{{e}^{\sqrt{2x+1}}}=-{{(x+1)}^{2}}+{{\left( \sqrt{2x+1}+1 \right)}^{2}} \)
\( \Leftrightarrow {{e}^{x}}+{{(x+1)}^{2}}={{e}^{\sqrt{2x+1}}}+{{\left( \sqrt{2x+1}+1 \right)}^{2}}\,\,\,\,\,\,\,\,(*) \)
Xét hàm số \( f(t)={{e}^{t}}+{{(t+1)}^{2}} \) với \( t\ge -\frac{1}{2} \).
\( {f}'(t)={{e}^{t}}+2(t+1)>0 \) với mọi \( t\ge -\frac{1}{2} \).
Suy ra hàm số đồng biến trên \( \left[ -\frac{1}{2};+\infty \right) \).
\( (*)\Leftrightarrow f(x)=f\left( \sqrt{2x+1} \right)\Leftrightarrow x=\sqrt{2x+1}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x\ge 0 \\ & {{x}^{2}}=2x+1 \\ \end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x\ge 0 \\ & {{x}^{2}}-2x-1=0 \\ \end{align} \right. \) \( \begin{cases} x\ge 0 \\\left[\begin{array}{l} x=1-\sqrt{2} \\ x=1+\sqrt{2}\end{array}\right.\end{cases} \Leftrightarrow x=1+\sqrt{2}\).
Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán - Lý - Hóa từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!